次の関数の$n$次導関数を求めよ。 (1) $x \sin x$ (2) $x^2 e^{3x}$

1. 問題の内容

次の関数の$n$次導関数を求めよ。

(1) $x \sin x$

(2) $x^2 e^{3x}$

2. 解き方の手順

(1) $x \sin x$ の $n$ 次導関数について。ライプニッツの公式を用いる。

$u = x$ と $v = \sin x$ とおく。ライプニッツの公式は次の通り。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k u^{(n-k)} v^{(k)}$

$u = x$ なので、$u' = 1$, $u'' = 0$。よって、$n \ge 2$ のとき、$u^{(n)} = 0$。

$v = \sin x$ なので、$v' = \cos x$, $v'' = - \sin x$, $v''' = - \cos x$, $v'''' = \sin x$ となる。

一般に、$v^{(k)} = \sin(x + \frac{k \pi}{2})$ と表せる。

$(x \sin x)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k x^{(n-k)} (\sin x)^{(k)}$

$= {}_n C_0 x^{(n)} \sin x + {}_n C_1 x^{(n-1)} \cos x + \sum_{k=2}^{n} {}_n C_k x^{(n-k)} (\sin x)^{(k)}$

$n=0$のとき、

$(x \sin x)^{(0)} = x \sin x$

$n=1$のとき、

$(x \sin x)^{(1)} = \sin x + x \cos x$

$n \ge 2$ のとき、$x^{(n)} = 0$, $x^{(n-1)} = 0$ , $x^{(1)}=1$, $x^{(0)}=x$なので、

$(x \sin x)^{(n)} = {}_n C_{n-1} x' \sin(x + \frac{(n-1) \pi}{2}) + {}_n C_{n} x \sin(x + \frac{n \pi}{2})$

$= n \sin(x + \frac{(n-1) \pi}{2}) + x \sin(x + \frac{n \pi}{2})$

$= n \cos(x + \frac{(n-1) \pi}{2} - \frac{\pi}{2}) + x \sin(x + \frac{n \pi}{2})$

$= n \cos(x + \frac{(n-2) \pi}{2}) + x \sin(x + \frac{n \pi}{2})$

$= n \cos(x + (n-2) \frac{\pi}{2}) + x \sin(x + n \frac{\pi}{2})$

(2) $x^2 e^{3x}$ の $n$ 次導関数について。ライプニッツの公式を用いる。

$u = x^2$ と $v = e^{3x}$ とおく。

$u = x^2$ なので、$u' = 2x$, $u'' = 2$, $u''' = 0$。よって、$n \ge 3$ のとき、$u^{(n)} = 0$。

$v = e^{3x}$ なので、$v' = 3e^{3x}$, $v'' = 9e^{3x}$, $v^{(k)} = 3^k e^{3x}$ となる。

$(x^2 e^{3x})^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k u^{(n-k)} v^{(k)}$

$= {}_n C_0 u^{(n)} v + {}_n C_1 u^{(n-1)} v' + {}_n C_2 u^{(n-2)} v'' + \sum_{k=3}^{n} {}_n C_k u^{(n-k)} v^{(k)}$

$n=0$のとき、

$(x^2 e^{3x})^{(0)} = x^2 e^{3x}$

$n=1$のとき、

$(x^2 e^{3x})^{(1)} = 2xe^{3x} + 3x^2 e^{3x} = (3x^2 + 2x)e^{3x}$

$n=2$のとき、

$(x^2 e^{3x})^{(2)} = (3x^2 + 2x)'e^{3x} + (3x^2 + 2x)3e^{3x} = (6x + 2)e^{3x} + (9x^2 + 6x)e^{3x} = (9x^2 + 12x + 2)e^{3x}$

$n \ge 3$ のとき、$u^{(n)} = 0, n \ge 3$なので、

$(x^2 e^{3x})^{(n)} = {}_n C_{n} x^2 (e^{3x})^{(n)} + {}_n C_{n-1} 2x (e^{3x})^{(n-1)} + {}_n C_{n-2} 2 (e^{3x})^{(n-2)}$

$= x^2 3^n e^{3x} + n (2x) 3^{n-1} e^{3x} + \frac{n(n-1)}{2} 2 3^{n-2} e^{3x}$

$= e^{3x} (3^n x^2 + 2n 3^{n-1} x + n(n-1) 3^{n-2})$

$= 3^{n-2} e^{3x} (9x^2 + 6nx + n(n-1))$

3. 最終的な答え

(1) $(x \sin x)^{(n)} = n \cos(x + (n-2) \frac{\pi}{2}) + x \sin(x + n \frac{\pi}{2})$

(2) $(x^2 e^{3x})^{(n)} = 3^{n-2} e^{3x} (9x^2 + 6nx + n(n-1))$