関数 $f(x)$ が与えられています。 $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & (x \le 1) \\ \frac{ax+b}{x+1} & (x > 1) \end{cases}$ $f(x)$ が $x=1$ で微分可能となるような $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \begin{cases}

x^2 + 1 & (x \le 1) \\

\frac{ax+b}{x+1} & (x > 1)

\end{cases}$

$f(x)$ が $x=1$ で微分可能となるような $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

微分可能であるためには、まず連続である必要があります。つまり、$x=1$ での左極限と右極限が一致する必要があります。

$x=1$ での左極限は、

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2+1) = 1^2 + 1 = 2$

$x=1$ での右極限は、

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{ax+b}{x+1} = \frac{a+b}{1+1} = \frac{a+b}{2}$

連続であるためには、

$\frac{a+b}{2} = 2$

$a+b = 4$　...(1)

次に、微分可能であるためには、 $x=1$ での左側微分係数と右側微分係数が一致する必要があります。

$x \le 1$ のとき、$f(x) = x^2 + 1$ なので、$f'(x) = 2x$ となります。したがって、左側微分係数は

$\lim_{x \to 1^-} f'(x) = 2(1) = 2$

$x > 1$ のとき、$f(x) = \frac{ax+b}{x+1}$ なので、$f'(x) = \frac{a(x+1) - (ax+b)}{(x+1)^2} = \frac{a-b}{(x+1)^2}$ となります。したがって、右側微分係数は

$\lim_{x \to 1^+} f'(x) = \frac{a-b}{(1+1)^2} = \frac{a-b}{4}$

微分可能であるためには、

$\frac{a-b}{4} = 2$

$a-b = 8$　...(2)

(1) と (2) の連立方程式を解きます。

(1) $a+b = 4$

(2) $a-b = 8$

(1)+(2)より

$2a = 12$

$a = 6$

$b = 4 - a = 4 - 6 = -2$

3. 最終的な答え

$a = 6$, $b = -2$