与えられた式は、$\sqrt[3]{6} \times \sqrt[3]{48} \div \sqrt{12}$ です。この式を計算し、簡略化することが目標です。

1. 問題の内容

与えられた式は、$\sqrt[3]{6} \times \sqrt[3]{48} \div \sqrt{12}$ です。この式を計算し、簡略化することが目標です。

2. 解き方の手順

まず、3乗根の部分を計算します。$\sqrt[3]{6}$ と $\sqrt[3]{48}$ を掛け合わせます。

$\sqrt[3]{6} \times \sqrt[3]{48} = \sqrt[3]{6 \times 48}$

$6 \times 48 = 288$ なので、

$\sqrt[3]{288}$ となります。

288 を素因数分解すると、$288 = 2^5 \times 3^2 = 2^3 \times 2^2 \times 3^2 = 8 \times 4 \times 9$ となります。

したがって、$\sqrt[3]{288} = \sqrt[3]{2^5 \times 3^2} = \sqrt[3]{2^3} \times \sqrt[3]{2^2 \times 3^2} = 2\sqrt[3]{36}$ となります。

次に、$\sqrt{12}$ を簡略化します。$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{2^2 \times 3} = 2\sqrt{3}$ となります。

最後に、割り算を行います。

$\frac{\sqrt[3]{6} \times \sqrt[3]{48}}{\sqrt{12}} = \frac{2\sqrt[3]{36}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt[3]{36}}{\sqrt{3}}$

分母と分子にそれぞれ3乗根と平方根が含まれているため、指数表記に変換してから計算します。

$\frac{\sqrt[3]{36}}{\sqrt{3}} = \frac{36^{1/3}}{3^{1/2}} = \frac{(6^2)^{1/3}}{3^{1/2}} = \frac{6^{2/3}}{3^{1/2}} = \frac{(2 \times 3)^{2/3}}{3^{1/2}} = \frac{2^{2/3} \times 3^{2/3}}{3^{1/2}} = 2^{2/3} \times 3^{2/3 - 1/2} = 2^{2/3} \times 3^{4/6 - 3/6} = 2^{2/3} \times 3^{1/6}$

$2^{2/3} \times 3^{1/6} = (2^4)^{1/6} \times 3^{1/6} = (16 \times 3)^{1/6} = \sqrt[6]{48}$

3. 最終的な答え

$\sqrt[6]{48}$