分母が $1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$ である分数 $\frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ の分母を有理化せよ。

1. 問題の内容

分母が $1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$ である分数 $\frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ の分母を有理化せよ。

2. 解き方の手順

まず、分母を $A + \sqrt{3}$ の形にするため、$1 + \sqrt{2}$ を $A$ と置きます。つまり、$A = 1 + \sqrt{2}$ です。

$\frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{1}{A + \sqrt{3}}$

次に、$A - \sqrt{3}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{A + \sqrt{3}} = \frac{A - \sqrt{3}}{(A + \sqrt{3})(A - \sqrt{3})} = \frac{A - \sqrt{3}}{A^2 - 3}$

$A = 1 + \sqrt{2}$ なので、$A^2 = (1 + \sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}$ です。

これを代入すると、

$\frac{A - \sqrt{3}}{A^2 - 3} = \frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{3 + 2\sqrt{2} - 3} = \frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

さらに、分母を有理化するために、$\sqrt{2}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + 2 - \sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{2 + \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$