$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とするとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $a$, $b$ の値を求めよ。 (2) $b + \frac{1}{b}$, $b^2 + \frac{1}{b^2}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とするとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $a$, $b$ の値を求めよ。

(2) $b + \frac{1}{b}$, $b^2 + \frac{1}{b^2}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{1}{\sqrt{5}-2} \cdot \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2$

$\sqrt{5}$ の値について考えます。$\sqrt{4} = 2$ で $\sqrt{9} = 3$ なので、$2 < \sqrt{5} < 3$ です。より詳しく評価すると、$2.2^2 = 4.84$ で $2.3^2 = 5.29$ なので、$2.2 < \sqrt{5} < 2.3$ です。

したがって、$4.2 < \sqrt{5}+2 < 4.3$ であることが分かります。

よって、$\sqrt{5}+2$ の整数の部分は $a=4$ となります。

$\sqrt{5}+2$ の小数部分は $b = (\sqrt{5}+2) - a = (\sqrt{5}+2) - 4 = \sqrt{5} - 2$ となります。

(2)

まず、$b + \frac{1}{b}$ を計算します。

$b + \frac{1}{b} = (\sqrt{5}-2) + \frac{1}{\sqrt{5}-2} = (\sqrt{5}-2) + (\sqrt{5}+2) = 2\sqrt{5}$

次に、$b^2 + \frac{1}{b^2}$ を計算します。

$b^2 + \frac{1}{b^2} = (b + \frac{1}{b})^2 - 2 = (2\sqrt{5})^2 - 2 = 4 \cdot 5 - 2 = 20 - 2 = 18$

3. 最終的な答え

(1)

$a = 4$

$b = \sqrt{5} - 2$

(2)

$b + \frac{1}{b} = 2\sqrt{5}$

$b^2 + \frac{1}{b^2} = 18$