複素数 $\frac{2-i}{2+i}$ の絶対値を計算する問題です。

1. 問題の内容

複素数 $\frac{2-i}{2+i}$ の絶対値を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{2-i}{2+i}$ を $a+bi$ の形に変形します。分母の共役複素数を分母分子に掛けることで、分母を実数にします。

\begin{align*}

\frac{2-i}{2+i} &= \frac{(2-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} \\

&= \frac{4 - 4i + i^2}{4 - i^2} \\

&= \frac{4 - 4i - 1}{4 - (-1)} \\

&= \frac{3 - 4i}{5} \\

&= \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i

\end{align*}

次に、複素数 $a+bi$ の絶対値 $|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$ を用いて、$\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$ の絶対値を計算します。

\begin{align*}

\left| \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i \right| &= \sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(-\frac{4}{5}\right)^2} \\

&= \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} \\

&= \sqrt{\frac{25}{25}} \\

&= \sqrt{1} \\

&= 1

\end{align*}

3. 最終的な答え

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