座標$(x, y)$に対して、$f(x, y) = 2x - y + 1$ および $g(x, y) = x + y - 4$ の関数が定義されている。いくつかの問いに答える。 (a) $(x, y) = (2, 1)$のとき、$f(x, y) \cdot g(x, y)$を求める。 (b) $f(x, y) \cdot g(x, y) = 0$ となる点$(x, y)$をグラフにプロットする。 (c) $f(x, y) = g(x, y) = 0$を満たす$(x, y)$を求める。 (d) $f(x, y) \ge 0$かつ$g(x, y) \ge 0$となる点$(x, y)$の集まり（領域）を斜線で図示する。 (e) $h(x, y) = y - x^2 - 2x$の関数がある。$h(x, y) = 0$となる点$(x, y)$をグラフにプロットする。 (f) $h(x, y) = f(x, y) = 0$を満たす$(x, y)$を求める。 (g) $h(x, y) = f(x, y) = g(x, y) = 0$を満たす$(x, y)$を求める。

1. 問題の内容

座標$(x, y)$に対して、$f(x, y) = 2x - y + 1$ および $g(x, y) = x + y - 4$ の関数が定義されている。いくつかの問いに答える。

(a) $(x, y) = (2, 1)$のとき、$f(x, y) \cdot g(x, y)$を求める。

(b) $f(x, y) \cdot g(x, y) = 0$ となる点$(x, y)$をグラフにプロットする。

(c) $f(x, y) = g(x, y) = 0$を満たす$(x, y)$を求める。

(d) $f(x, y) \ge 0$かつ$g(x, y) \ge 0$となる点$(x, y)$の集まり（領域）を斜線で図示する。

(e) $h(x, y) = y - x^2 - 2x$の関数がある。$h(x, y) = 0$となる点$(x, y)$をグラフにプロットする。

(f) $h(x, y) = f(x, y) = 0$を満たす$(x, y)$を求める。

(g) $h(x, y) = f(x, y) = g(x, y) = 0$を満たす$(x, y)$を求める。

2. 解き方の手順

(a) $f(2, 1) = 2(2) - 1 + 1 = 4$

$g(2, 1) = 2 + 1 - 4 = -1$

$f(2, 1) \cdot g(2, 1) = 4 \cdot (-1) = -4$

(b) $f(x, y) \cdot g(x, y) = 0$となるのは、$f(x, y) = 0$または$g(x, y) = 0$のときである。

$f(x, y) = 0 \implies 2x - y + 1 = 0 \implies y = 2x + 1$

$g(x, y) = 0 \implies x + y - 4 = 0 \implies y = -x + 4$

(c) $f(x, y) = g(x, y) = 0$

$2x - y + 1 = 0$

$x + y - 4 = 0$

2つの式を足し合わせると$3x - 3 = 0 \implies x = 1$

$y = -x + 4 = -1 + 4 = 3$

$(x, y) = (1, 3)$

(d) $f(x, y) \ge 0 \implies 2x - y + 1 \ge 0 \implies y \le 2x + 1$

$g(x, y) \ge 0 \implies x + y - 4 \ge 0 \implies y \ge -x + 4$

領域は、$y \le 2x + 1$と$y \ge -x + 4$の共通部分。

(e) $h(x, y) = y - x^2 - 2x = 0 \implies y = x^2 + 2x$

(f) $h(x, y) = f(x, y) = 0$

$y - x^2 - 2x = 0$

$2x - y + 1 = 0 \implies y = 2x + 1$

$2x + 1 - x^2 - 2x = 0 \implies -x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$

$x = 1 \implies y = 2(1) + 1 = 3$

$x = -1 \implies y = 2(-1) + 1 = -1$

$(x, y) = (1, 3), (-1, -1)$

(g) $h(x, y) = f(x, y) = g(x, y) = 0$

$y - x^2 - 2x = 0$

$2x - y + 1 = 0$

$x + y - 4 = 0$

(c)より、$f(x, y) = g(x, y) = 0$となるのは$(x, y) = (1, 3)$のとき。

$h(1, 3) = 3 - 1^2 - 2(1) = 3 - 1 - 2 = 0$

よって、$(x, y) = (1, 3)$

3. 最終的な答え

(a) -4

(b) グラフにプロット

(c) (1, 3)

(d) 領域を図示

(e) グラフにプロット

(f) (1, 3), (-1, -1)

(g) (1, 3)