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与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -4 & -2 & 1 \\ -3 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ について、以下の2つの問題を解きます。 (1) 行列 $X$ を求める。ただし、$6A - 2B - 2X = 7A - 5B$ を満たすとする。 (2) 積 ${}^t\!A \cdot B$ を求める。ここで${}^t\!A$は行列$A$の転置を表す。

代数学行列行列の計算行列の転置
2025/5/31

1. 問題の内容

与えられた行列 A=(2−13145)A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \end{pmatrix} と B=(−4−21−323)B = \begin{pmatrix} -4 & -2 & 1 \\ -3 & 2 & 3 \end{pmatrix} について、以下の2つの問題を解きます。
(1) 行列 XX を求める。ただし、6A−2B−2X=7A−5B6A - 2B - 2X = 7A - 5B を満たすとする。
(2) 積 t ⁣A⋅B{}^t\!A \cdot B を求める。ここでt ⁣A{}^t\!Aは行列AAの転置を表す。

2. 解き方の手順

(1) 行列 XX を求める。
まず、6A−2B−2X=7A−5B6A - 2B - 2X = 7A - 5B を変形して、XX について解きます。
2X=6A−2B−7A+5B2X = 6A - 2B - 7A + 5B
2X=−A+3B2X = -A + 3B
X=12(−A+3B)X = \frac{1}{2}(-A + 3B)
次に、−A-A と 3B3B を計算します。
−A=(−21−3−1−4−5)-A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -3 \\ -1 & -4 & -5 \end{pmatrix}
3B=(−12−63−969)3B = \begin{pmatrix} -12 & -6 & 3 \\ -9 & 6 & 9 \end{pmatrix}
−A+3B-A + 3B を計算します。
−A+3B=(−21−3−1−4−5)+(−12−63−969)=(−14−50−1024)-A + 3B = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -3 \\ -1 & -4 & -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -12 & -6 & 3 \\ -9 & 6 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -14 & -5 & 0 \\ -10 & 2 & 4 \end{pmatrix}
最後に、X=12(−A+3B)X = \frac{1}{2}(-A + 3B) を計算します。
X=12(−14−50−1024)=(−7−5/20−512)X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -14 & -5 & 0 \\ -10 & 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 & -5/2 & 0 \\ -5 & 1 & 2 \end{pmatrix}
(2) 積 t ⁣A⋅B{}^t\!A \cdot B を求める。
まず、行列 AA の転置 t ⁣A{}^t\!A を求めます。
t ⁣A=(21−1435){}^t\!A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}
次に、t ⁣A⋅B{}^t\!A \cdot B を計算します。
t ⁣A⋅B=(21−1435)(−4−21−323)=((2×−4+1×−3)(2×−2+1×2)(2×1+1×3)(−1×−4+4×−3)(−1×−2+4×2)(−1×1+4×3)(3×−4+5×−3)(3×−2+5×2)(3×1+5×3)){}^t\!A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 & -2 & 1 \\ -3 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2 \times -4 + 1 \times -3) & (2 \times -2 + 1 \times 2) & (2 \times 1 + 1 \times 3) \\ (-1 \times -4 + 4 \times -3) & (-1 \times -2 + 4 \times 2) & (-1 \times 1 + 4 \times 3) \\ (3 \times -4 + 5 \times -3) & (3 \times -2 + 5 \times 2) & (3 \times 1 + 5 \times 3) \end{pmatrix}
t ⁣A⋅B=(−8−3−4+22+34−122+8−1+12−12−15−6+103+15)=(−11−25−81011−27418){}^t\!A \cdot B = \begin{pmatrix} -8 - 3 & -4 + 2 & 2 + 3 \\ 4 - 12 & 2 + 8 & -1 + 12 \\ -12 - 15 & -6 + 10 & 3 + 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 & -2 & 5 \\ -8 & 10 & 11 \\ -27 & 4 & 18 \end{pmatrix}

3. 最終的な答え

(1) X=(−7−5/20−512)X = \begin{pmatrix} -7 & -5/2 & 0 \\ -5 & 1 & 2 \end{pmatrix}
(2) t ⁣A⋅B=(−11−25−81011−27418){}^t\!A \cdot B = \begin{pmatrix} -11 & -2 & 5 \\ -8 & 10 & 11 \\ -27 & 4 & 18 \end{pmatrix}

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