与えられた対数方程式 $\log_2(x+2) + \log_2 x = 3$ を解いて、$x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた対数方程式 $\log_2(x+2) + \log_2 x = 3$ を解いて、$x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して、左辺をまとめます。対数の和は、真数の積になるので、

$\log_2(x+2) + \log_2 x = \log_2((x+2)x)$

よって、与えられた方程式は、

$\log_2((x+2)x) = 3$

次に、対数の定義より、

$(x+2)x = 2^3$

展開して整理すると、

$x^2 + 2x = 8$

$x^2 + 2x - 8 = 0$

この二次方程式を解きます。因数分解すると、

$(x+4)(x-2) = 0$

したがって、$x = -4$ または $x = 2$となります。

ここで、対数関数の真数は正でなければならないという条件を考慮します。

$\log_2(x+2)$ が定義されるためには $x+2>0$、つまり $x>-2$ が必要です。

$\log_2 x$ が定義されるためには $x>0$ が必要です。

よって、$x>0$ でなければなりません。

$x=-4$ は $x>0$ を満たさないので、解として不適です。

$x=2$ は $x>0$ を満たすので、解として適します。

3. 最終的な答え

$x = 2$