与えられた3つの2次式を、複素数の範囲で因数分解する問題です。 (1) $2x^2 - 17x - 69$ (2) $x^2 - 2x - 1$ (3) $x^2 + 2$

1. 問題の内容

与えられた3つの2次式を、複素数の範囲で因数分解する問題です。

(1) $2x^2 - 17x - 69$

(2) $x^2 - 2x - 1$

(3) $x^2 + 2$

2. 解き方の手順

2次式 $ax^2 + bx + c$ の因数分解は、まず2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を求めます。解を $\alpha, \beta$ とすると、$ax^2 + bx + c = a(x-\alpha)(x-\beta)$ と因数分解できます。

(1) $2x^2 - 17x - 69 = 0$ を解く。解の公式より、

$x = \frac{-(-17) \pm \sqrt{(-17)^2 - 4(2)(-69)}}{2(2)} = \frac{17 \pm \sqrt{289 + 552}}{4} = \frac{17 \pm \sqrt{841}}{4} = \frac{17 \pm 29}{4}$

よって、$x = \frac{17+29}{4} = \frac{46}{4} = \frac{23}{2}$ または $x = \frac{17-29}{4} = \frac{-12}{4} = -3$

したがって、$2x^2 - 17x - 69 = 2(x - \frac{23}{2})(x + 3) = (2x - 23)(x + 3)$

(2) $x^2 - 2x - 1 = 0$ を解く。解の公式より、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

したがって、$x^2 - 2x - 1 = (x - (1 + \sqrt{2}))(x - (1 - \sqrt{2}))$

(3) $x^2 + 2 = 0$ を解く。

$x^2 = -2$

$x = \pm \sqrt{-2} = \pm \sqrt{2}i$

したがって、$x^2 + 2 = (x - \sqrt{2}i)(x + \sqrt{2}i)$

3. 最終的な答え

(1) $(2x - 23)(x + 3)$

(2) $(x - (1 + \sqrt{2}))(x - (1 - \sqrt{2}))$

(3) $(x - \sqrt{2}i)(x + \sqrt{2}i)$