与えられた条件が、別の条件に対して必要条件、十分条件、必要十分条件、または必要条件でも十分条件でもないのかを判断する問題です。 (1) $a = b$ は $ac = bc$ であるための何か。 (2) $a^2 + b^2 = 2(a+b-1)$ は $a = b = 1$ であるための何か。 (3) $a + b > c$ は $a, b, c$ が三角形の3辺の長さとなるための何か。

1. 問題の内容

与えられた条件が、別の条件に対して必要条件、十分条件、必要十分条件、または必要条件でも十分条件でもないのかを判断する問題です。

(1) $a = b$ は $ac = bc$ であるための何か。

(2) $a^2 + b^2 = 2(a+b-1)$ は $a = b = 1$ であるための何か。

(3) $a + b > c$ は $a, b, c$ が三角形の3辺の長さとなるための何か。

2. 解き方の手順

(1) $a = b$ ならば $ac = bc$ は常に成り立ちます。よって、$a=b$ は $ac=bc$ であるための十分条件です。

しかし、$ac = bc$ であっても $a = b$ とは限りません。例えば、$c = 0$ のとき、$a$ と $b$ がどんな値でも $ac=bc=0$ となります。よって、$ac=bc$ は $a=b$ であるための必要条件ではありません。

したがって、$a=b$ は $ac=bc$ であるための十分条件です。

(2) $a^2 + b^2 = 2(a+b-1)$ を変形すると、$a^2 - 2a + 1 + b^2 - 2b + 1 = 0$、つまり $(a-1)^2 + (b-1)^2 = 0$ となります。実数の二乗の和が0になるのは、それぞれの項が0のときだけです。したがって、$a-1 = 0$ かつ $b-1 = 0$、つまり $a = 1$ かつ $b = 1$ です。

よって、$a^2 + b^2 = 2(a+b-1)$ ならば $a = b = 1$ が成り立ち、$a = b = 1$ ならば $a^2 + b^2 = 2(a+b-1)$ が成り立ちます。したがって、$a^2 + b^2 = 2(a+b-1)$ は $a=b=1$ であるための必要十分条件です。

(3) $a, b, c$ が三角形の3辺の長さとなるための条件は、$a + b > c$ かつ $b + c > a$ かつ $c + a > b$ です。したがって、$a + b > c$ は、三角形の3辺の長さの条件の一つを満たすに過ぎません。

例えば、$a=1$, $b=2$, $c=4$ のとき、$a+b > c$ は満たされますが ($1+2 > 4$ は成り立ちません)、$a, b, c$ は三角形の3辺の長さにはなりえません ($1+2<4$ であるため)。また、 $a, b, c$ が三角形の3辺の長さのとき、$a+b>c$ は成り立ちます。

よって、$a+b>c$は、$a,b,c$が三角形の3辺の長さであるための必要条件ですが、十分条件ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 十分条件

(2) 必要十分条件

(3) 必要条件