9本のジュース（オレンジ6本、グレープ2本、アップル1本）を横一列に並べる。 (i) 並べ方の総数を求める。 (ii) グレープジュース2本が隣り合う並べ方の数を求める。 (iii) グレープジュースとアップルジュースが隣り合う並べ方の数を求める。 (iv) 180度回転して重なる並べ方を同じものとみなす場合の、並べ方の総数を求める。

1. 問題の内容

9本のジュース（オレンジ6本、グレープ2本、アップル1本）を横一列に並べる。

(i) 並べ方の総数を求める。

(ii) グレープジュース2本が隣り合う並べ方の数を求める。

(iii) グレープジュースとアップルジュースが隣り合う並べ方の数を求める。

(iv) 180度回転して重なる並べ方を同じものとみなす場合の、並べ方の総数を求める。

2. 解き方の手順

(i) 9本のジュースの並べ方の総数。

これは同じものを含む順列の問題なので、

$\frac{9!}{6!2!1!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{2 \times 1} = 9 \times 4 \times 7 = 36 \times 7 = 252$ 通り。

アイウ = 252

(ii) グレープジュース2本が隣り合う並べ方の数。

グレープジュース2本をひとまとめにして考える。すると、8個のものを並べる順列となる。

この場合も同じものを含む順列なので、

$\frac{8!}{6!1!1!} = \frac{8}{1} = 8 \times 7 = 56$ 通り。

エオ = 56

(iii) グレープジュースとアップルジュースが隣り合う並べ方の数。

(i)と同様に、グレープジュースをG, アップルジュースをA, オレンジジュースをOと表す。隣り合う場合はGAまたはAGとなる。

GAの場合：GA, G, Aをひとまとめにするわけではないので、2本が隣り合う場合は、GAまたはAGを一つの塊として扱う必要がある。

GAの順に並ぶ場合、GAを一つの塊として考えると、8個のものを並べることになる。

このとき、オレンジジュースは6本あるので、

$\frac{8!}{6!} = 8 \times 7 = 56$通り

AGの順に並ぶ場合も同様に56通り。

したがって、合計で$56+56 = 112$通り。

カキク = 112

(iv) 180度回転して重なる並べ方を同じものとみなす場合の並べ方の総数。

まず、180度回転して同じになる並べ方の数を求める。

例えば、OOOGGAOOという並べ方は、反転するとOOAGGGOOになるので、180度回転して同じにはならない。

180度回転して同じになる並べ方の数は、中心に対して対称になる必要があり、全体が奇数個なので、中心にくるものはオレンジでなければならない。

残りの8つの並べ方を考え、4つの位置を決めたとき、反転した位置は自動的に決まるため、

$\frac{8!}{3!2!3!} = \frac{8\times7\times6\times5\times4}{3\times2\times1\times2\times1} = 8\times7\times5\times2 = 560$ と考えてはいけない。

全体で252通りある。180度回転させると同じになるものをx通り、ならないものをy通りとすると、$2x + y = 252$となる。180度回転して同じになるものを同じものとみなすと、並べ方の総数は$x + \frac{y}{2}$となる。

$x + \frac{y}{2} = \frac{2x + y}{2} = \frac{252}{2} = 126$とならない。

回転して一致するものを引いて2で割ったものを足す。

回転して変わらないものがx個のとき、変わるものは252-x個。

$(252 - x)/2 + x = 252/2 + x/2 = 126 + x/2$

中央がOになるものは、$O_1 G_1 G_2 A_1$と番号をふると$8!/3!2!3!$ ではない。

全順列は252なので、同じになるものを2で割って、一致するものを足す。

$n/2+ x/2=(n+x)/2$

中央がOのパターンを考える：両端がOOOGGAAOのようなパターンを考える

中央を固定して考えると８個の場所を埋める方法を考えれば良いので

x=28

(252+28)/2 = 140

ケコサ = 140

3. 最終的な答え

(i) アイウ = 252

(ii) エオ = 56

(iii) カキク = 112

(iv) ケコサ = 140