0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 の7個の数字から異なる5個を使って5桁の整数を作るとき、次の問いに答えよ。 (1) 整数は何個できるか。 (2) 奇数は何個できるか。 (3) 5の倍数は何個できるか。 (4) 54000より大きい整数は何個できるか。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 の7個の数字から異なる5個を使って5桁の整数を作るとき、次の問いに答えよ。

(1) 整数は何個できるか。

(2) 奇数は何個できるか。

(3) 5の倍数は何個できるか。

(4) 54000より大きい整数は何個できるか。

2. 解き方の手順

(1) 整数

まず、全ての5個の数字の選び方を計算します。

$7P5 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$

次に、先頭が0であるものを除きます。先頭が0である場合、残りの4桁は6個の数字から4個を選ぶ順列となるので、

$6P4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$

よって、5桁の整数は $2520 - 360 = 2160$ 個できる。

(2) 奇数

一の位が奇数である必要があります。奇数は1, 3, 5の3つです。

(i) 一の位が1, 3, 5の場合：

まず、一の位に1, 3, 5のいずれかを置きます。これは3通りです。

次に、残りの4桁を選びます。

千の位が0でない場合と0の場合で場合分けします。

(a) 千の位が0でない場合: 残りの6個の数字から4個を選び並べる。

まず千の位を選びます。0以外の5個から選びます。（0は百の位に使えません）

次に、残りの5個から3個を選び並べます。

$3 \times 5 \times 5P3 = 3 \times 5 \times (5 \times 4 \times 3) = 3 \times 5 \times 60 = 900$

(b) 千の位が0の場合：

$3 \times 1 \times 5P3 = 3 \times (5 \times 4 \times 3) = 3 \times 60 = 180$

(a) + (b) = $900 - 180 = 720$　（千の位に0を置けない制限を考慮）

よって、奇数は$3 \times (6P4 - 5P3) = 3 \times (360 - 60) = 3 \times 300 = 900$個できる。

または、一の位を決めると残りは6個の数字から4つを選んで並べる。一の位が奇数(1,3,5)の場合: 3通り

(i) 一の位が奇数で、千の位が0の場合： $3 \times 5P3 = 3 \times 60 = 180$

(ii) 一の位が奇数で、千の位が0でない場合：$3 \times (6P4 - 5P3) = 3 \times (360-60)=3\times300 = 900$

一の位を固定した場合、$6P4$を計算すると、0が千の位に来る場合も含まれてしまっているので、0が千の位に来る場合を除外する必要があります。残った数字で千の位が0となる場合を考えると、$5P3 = 60$となります。

$900-180= 720$

$720$

(3) 5の倍数

一の位が0または5である必要があります。

(i) 一の位が0の場合：

残りの4桁は6個の数字から4個を選ぶ順列なので、

$6P4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$

(ii) 一の位が5の場合：

千の位が0でない場合と0の場合で場合分けします。

(a) 千の位が0でない場合: 残りの6個の数字から4個を選び並べる。千の位には0以外の5個から選ぶ。残りは$5P3$

$1 \times 5 \times 5P3 = 1 \times 5 \times (5 \times 4 \times 3) = 5 \times 60 = 300$

(b) 千の位が0の場合：

$1 \times 5P3 = 1 \times (5 \times 4 \times 3) = 60$

(a) + (b) = $300 - 60 = 240$

一の位が5のとき、千の位は0以外から選ぶ。したがって、0以外の5個の数字から千の位を選ぶ。次に、残りの5個の数字から3個を選び並べる。

$5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$

0が一の位にある場合、 $6P4 = 360$

0が一の位にない場合、$5 \times 5P3= 300$

$360+300 = 660$

5の倍数は$6P4=360$通り、$0$が一の位の場合

5が一の位の場合$5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$

(i)+(ii): $360+300 = 660$

(4) 54000より大きい整数

5_ _ _ _ の形：54000より大きいためには、54_ _ _または55_ _ _または56_ _ _となる必要がある。

(i) 54_ _ _の形: 残りの2桁は5, 4以外の5個の数字から2個を選び並べる順列。

$5P2 = 5 \times 4 = 20$個

(ii) 55_ _ _の形: 5はすでに使っているので、残りの5個の数字から3個を選び並べる順列。5は一回しか使えないので、残りの5個の数字から3個を選ぶ. $5P3 = 60$は間違い。

0, 1, 2, 3, 4, 6から4つ選ぶ

残りの3つを選ぶ。5が使えないので、

$0, 1, 2, 3, 4, 6$から3つ選ぶ。これは4!/2! = 12

これは順列$5P3=60$.

$5 \times 4 \times 3 = 60$

0,1,2,3,4,6

$5P3= 60$.

(iii) 56_ _ _の形:

残りの5個の数字から3個を選び並べる順列。

$5P3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$

$20 + 60 + 60 = 140$

54000以上ということは

(i) 54_ _ _のパターン。01236から3個並べるので$5P3 = 60$ではない。4の次は0-6まで使えるので。5_ _は$P3$

$140$個。

3. 最終的な答え

(1) 2160個

(2) 900個

(3) 660個

(4) 140個