6で割ると3余り、17で割ると5余る3桁の自然数で最大のものを求めよ。

1. 問題の内容

6で割ると3余り、17で割ると5余る3桁の自然数で最大のものを求めよ。

2. 解き方の手順

求める自然数を$n$とすると、問題文より以下の2つの式が成り立つ。

$n \equiv 3 \pmod{6}$

$n \equiv 5 \pmod{17}$

1つ目の式から、$n = 6k + 3$（$k$は整数）と表せる。これを2つ目の式に代入すると、

$6k + 3 \equiv 5 \pmod{17}$

$6k \equiv 2 \pmod{17}$

この合同式を解くために、$6$の法$17$における逆元を求める。

$6 \times 3 = 18 \equiv 1 \pmod{17}$より、$6$の逆元は$3$である。

両辺に$3$を掛けると、

$18k \equiv 6 \pmod{17}$

$k \equiv 6 \pmod{17}$

したがって、$k = 17l + 6$（$l$は整数）と表せる。

これを$n = 6k + 3$に代入すると、

$n = 6(17l + 6) + 3 = 102l + 36 + 3 = 102l + 39$

$n$は3桁の自然数なので、$100 \le n \le 999$。

$100 \le 102l + 39 \le 999$

$61 \le 102l \le 960$

$\frac{61}{102} \le l \le \frac{960}{102}$

$0.598 \le l \le 9.41$

$l$は整数なので、$1 \le l \le 9$。

$n$が最大になるのは、$l = 9$のときである。

$n = 102 \times 9 + 39 = 918 + 39 = 957$

3. 最終的な答え

957