A, B, C, D の4つの文字をアルファベット順に辞書式に並べたとき、以下の問いに答えます。 (1) BCAD は何番目か。 (2) 15番目の文字列は何か。

1. 問題の内容

A, B, C, D の4つの文字をアルファベット順に辞書式に並べたとき、以下の問いに答えます。

(1) BCAD は何番目か。

(2) 15番目の文字列は何か。

2. 解き方の手順

(1) BCAD が何番目かを求めます。

まず、Aで始まる文字列の数を数えます。A _ _ _ の形なので、残りの3つの文字の並べ方は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りです。

次に、Bで始まる文字列のうち、2番目の文字がAである文字列の数を数えます。BA _ _ の形なので、残りの2つの文字の並べ方は $2! = 2 \times 1 = 2$ 通りです。

次に、BC _ _ の形の文字列を考えます。 BCA _ の形の文字列は1つです。

最後に BCAD です。

したがって、BCAD の順番は $6 + 2 + 1 + 1 = 10$ 番目です。

(2) 15番目の文字列を求めます。

Aで始まる文字列は $3! = 6$ 通りあります。

Bで始まる文字列も $3! = 6$ 通りあります。

AとBで始まる文字列の合計は $6 + 6 = 12$ 通りなので、15番目の文字列はCで始まります。

Cで始まる文字列の中で、CA _ _ の形の文字列は $2! = 2$ 通りあります。

CB _ _ の形の文字列も $2! = 2$ 通りあります。

CA と CB で始まる文字列の合計は $2 + 2 = 4$ 通りです。

Aで始まる文字列から数えると、$6 + 6 + 2 + 2 = 16$ 通りになるので、15番目の文字列はCBで始まる文字列になります。

12番目までがAとBで始まる文字列なので、13番目はCAで始まる最初の文字列CADB, 14番目はCADBの次の文字列CBAD, 15番目はCBDAです。

CAで始まる文字列はCADB, CABDの２つ。したがって、15番目はCBDAです。

あるいは、

Aで始まる文字列は6個

Bで始まる文字列は6個

Cで始まる文字列は6個

Dで始まる文字列は6個

6+6=12より、15番目はCで始まる。15-12=3なので、Cで始まる文字列の3番目を探す。

CAで始まる文字列は2個

CBで始まる文字列は2個

CAで始まる文字列はCABD, CADB

CBで始まる文字列はCBAD, CBDA

したがって、15番目はCBDA

3. 最終的な答え

(1) 10番目

(2) CBDA