関数 $y = x^2 + x$ のグラフに、点 $(2, -3)$ から引いた接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + x$ のグラフに、点 $(2, -3)$ から引いた接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. 接点を $(t, t^2 + t)$ とおく。

2. 関数 $y = x^2 + x$ を微分して、導関数を求める。

$y' = 2x + 1$

3. 接点 $(t, t^2 + t)$ における接線の傾きは $2t + 1$ である。

4. 接線の方程式は、

$y - (t^2 + t) = (2t + 1)(x - t)$

と表せる。

5. この接線が点 $(2, -3)$ を通るので、代入して $t$ を求める。

$-3 - (t^2 + t) = (2t + 1)(2 - t)$

$-3 - t^2 - t = 4t + 2 - 2t^2 - t$

$t^2 - 4t - 5 = 0$

$(t - 5)(t + 1) = 0$

$t = 5, -1$

6. $t = 5$ のとき、接点は $(5, 30)$ であり、接線の傾きは $2(5) + 1 = 11$。

接線の方程式は、

$y - 30 = 11(x - 5)$

$y = 11x - 55 + 30$

$y = 11x - 25$

7. $t = -1$ のとき、接点は $(-1, 0)$ であり、接線の傾きは $2(-1) + 1 = -1$。

接線の方程式は、

$y - 0 = -1(x - (-1))$

$y = -x - 1$

8. 2本の接線の方程式が求まった。

3. 最終的な答え

$y = 11x - 25$

$y = -x - 1$