関数 $y = 2x^2 + x$ のグラフに点 $(-2, -12)$ から引いた接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 + x$ のグラフに点 $(-2, -12)$ から引いた接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

接点を $(t, 2t^2+t)$ とおく。

$y = 2x^2 + x$ を微分すると $y' = 4x + 1$ となる。

よって、点 $(t, 2t^2+t)$ における接線の傾きは $4t+1$ である。

接線の方程式は

$y - (2t^2 + t) = (4t+1)(x-t)$

$y = (4t+1)x - 4t^2 - t + 2t^2 + t$

$y = (4t+1)x - 2t^2$

この接線が点 $(-2, -12)$ を通るので、

$-12 = (4t+1)(-2) - 2t^2$

$-12 = -8t - 2 - 2t^2$

$2t^2 + 8t - 10 = 0$

$t^2 + 4t - 5 = 0$

$(t+5)(t-1) = 0$

$t = -5, 1$

$t = -5$ のとき、接点の座標は $(-5, 45)$ であり、接線の傾きは $4(-5) + 1 = -19$ なので、接線の方程式は

$y = -19x - 2(-5)^2 = -19x - 50$

$y = -19x - 50$

$t = 1$ のとき、接点の座標は $(1, 3)$ であり、接線の傾きは $4(1) + 1 = 5$ なので、接線の方程式は

$y = 5x - 2(1)^2 = 5x - 2$

$y = 5x - 2$

点 $(-2, -12)$ が関数 $y=2x^2+x$ 上にあるか確認する。$2(-2)^2 + (-2) = 8 - 2 = 6 \neq -12$ なので、点 $(-2, -12)$ は関数 $y = 2x^2 + x$ 上の点ではない。

3. 最終的な答え

$y = -19x - 50$

$y = 5x - 2$