$a$ を1桁の正の整数とし、各位の数がすべて $a$ である $n$ 桁の整数を $[a]_n$ と表す。例えば、$[5]_4 = 5555$ である。以下では、$n, p, q$ は、いずれも2以上の整数とする。 (1) $p^q+1 = [5]_n$ を満たす $(n, p, q)$ は存在しないことを示せ。 (2) $p^q+1 = [3]_n$ を満たす $(n, p, q)$ を求めよ。 (3) $p^q+1 = [7]_n$ を満たす $(n, p, q)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を1桁の正の整数とし、各位の数がすべて $a$ である $n$ 桁の整数を $[a]_n$ と表す。例えば、$[5]_4 = 5555$ である。以下では、$n, p, q$ は、いずれも2以上の整数とする。

(1) $p^q+1 = [5]_n$ を満たす $(n, p, q)$ は存在しないことを示せ。

(2) $p^q+1 = [3]_n$ を満たす $(n, p, q)$ を求めよ。

(3) $p^q+1 = [7]_n$ を満たす $(n, p, q)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $p^q+1 = [5]_n$ の場合

$[5]_n = 55\cdots5 = 5(11\cdots1) = 5\frac{10^n-1}{9}$ と表せる。

$p^q+1 = 5\frac{10^n-1}{9}$

$9p^q + 9 = 5(10^n-1)$

$9p^q+14 = 5 \cdot 10^n = 5 \cdot 2^n \cdot 5^n = 2^n \cdot 5^{n+1}$

$p=2$のとき、$9 \cdot 2^q+14 = 2^n \cdot 5^{n+1}$

$p=5$のとき、$9 \cdot 5^q+14 = 2^n \cdot 5^{n+1}$

もし、$p$ が 2 でも 5 でもない素数であれば、$9p^q+14$ は 2 でも 5 でも割り切れないため、右辺と矛盾する。

したがって、$p$ は 2 または 5 である。

$p=2$の場合、$9(2^q)+14 = 2^n \cdot 5^{n+1}$

$q=2$のとき、$36+14 = 50 = 2 \cdot 5^2$ より、$n=1$となり、$n\ge2$に反する。

$q=3$のとき、$72+14 = 86 = 2 \cdot 43$となり、$5$の倍数ではないため不適。

$q\ge2$のとき、$9(2^q)+14$ は、$2$の倍数だが、$4$の倍数ではないので、$n=1$となり、$n\ge2$に反する。

$p=5$の場合、$9(5^q)+14 = 2^n \cdot 5^{n+1}$

$q=2$のとき、$9(25)+14 = 225+14 = 239$ は $2^n \cdot 5^{n+1}$ の形にならないため不適。

$q\ge2$のとき、左辺は、$5$で割り切れないため、右辺と矛盾する。

したがって、$p^q+1 = [5]_n$ を満たす $(n, p, q)$ は存在しない。

(2) $p^q+1 = [3]_n$ の場合

$[3]_n = 33\cdots3 = 3(11\cdots1) = 3\frac{10^n-1}{9} = \frac{10^n-1}{3}$

$p^q+1 = \frac{10^n-1}{3}$

$3p^q+3 = 10^n-1$

$3p^q+4 = 10^n = 2^n \cdot 5^n$

$n=1$のとき、$3p^q+4 = 10$

$3p^q = 6$

$p^q = 2$

これを満たす $p,q$ は存在しない。したがって、$n \ge 2$ である。

$p=2$のとき、$3 \cdot 2^q+4 = 10^n$

$q=2$のとき、$12+4 = 16$ は $10^n$ の形にならない。

$q=3$のとき、$24+4 = 28$ は $10^n$ の形にならない。

$q=4$のとき、$48+4 = 52$ は $10^n$ の形にならない。

$q=5$のとき、$96+4 = 100 = 10^2$ なので、$n=2$となり、$(n,p,q)=(2,2,5)$ が解となる。

$p=3$のとき、$3 \cdot 3^q+4 = 10^n$

$3^{q+1}+4 = 10^n$

$q=2$のとき、$27+4 = 31$ は $10^n$ の形にならない。

$q=3$のとき、$81+4 = 85$ は $10^n$ の形にならない。

$p=5$のとき、$3 \cdot 5^q+4 = 10^n$

$q=2$のとき、$75+4 = 79$ は $10^n$ の形にならない。

(3) $p^q+1 = [7]_n$ の場合

$[7]_n = 77\cdots7 = 7(11\cdots1) = 7\frac{10^n-1}{9}$

$p^q+1 = 7\frac{10^n-1}{9}$

$9p^q+9 = 7 \cdot 10^n - 7$

$9p^q+16 = 7 \cdot 10^n = 7 \cdot 2^n \cdot 5^n$

3. 最終的な答え

(1) $p^q+1 = [5]_n$ を満たす $(n, p, q)$ は存在しない。

(2) $(n, p, q) = (2, 2, 5)$

(3) 解なし