問題3の(1)と(2)の式を因数分解します。 (1) $(a-b)c^2 + (b-c)a^2 + (c-a)b^2$ (2) $x^4 + 3x^2 + 4$

1. 問題の内容

問題3の(1)と(2)の式を因数分解します。

(1) $(a-b)c^2 + (b-c)a^2 + (c-a)b^2$

(2) $x^4 + 3x^2 + 4$

2. 解き方の手順

(1) $(a-b)c^2 + (b-c)a^2 + (c-a)b^2$を展開し整理します。

\begin{align*}

(a-b)c^2 + (b-c)a^2 + (c-a)b^2 &= ac^2 - bc^2 + ba^2 - ca^2 + cb^2 - ab^2 \\

&= ac^2 - bc^2 + ba^2 - ca^2 + cb^2 - ab^2 \\

&= a^2(b-c) + a(c^2 - b^2) + (cb^2 - bc^2) \\

&= a^2(b-c) + a(c+b)(c-b) + bc(b-c) \\

&= a^2(b-c) - a(b+c)(b-c) + bc(b-c) \\

&= (b-c)(a^2 - a(b+c) + bc) \\

&= (b-c)(a^2 - ab - ac + bc) \\

&= (b-c)(a(a-b) - c(a-b)) \\

&= (b-c)(a-b)(a-c) \\

&= -(a-b)(b-c)(c-a)

\end{align*}

(2) $x^4 + 3x^2 + 4$を因数分解します。

\begin{align*}

x^4 + 3x^2 + 4 &= x^4 + 4x^2 + 4 - x^2 \\

&= (x^2 + 2)^2 - x^2 \\

&= (x^2 + 2 + x)(x^2 + 2 - x) \\

&= (x^2 + x + 2)(x^2 - x + 2)

\end{align*}

3. 最終的な答え

(1) $-(a-b)(b-c)(c-a)$

(2) $(x^2 + x + 2)(x^2 - x + 2)$