与えられた分数の式を簡単にしてください。式は次の通りです。 $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}}$

1. 問題の内容

与えられた分数の式を簡単にしてください。式は次の通りです。

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}}$

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数を分母と分子に掛けます。分母を$(\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7})$とします。分母を$(\sqrt{2}-(\sqrt{5}-\sqrt{7}))$と見ると、共役な複素数は$(\sqrt{2}+(\sqrt{5}-\sqrt{7}))$となります。

そこで、分母と分子に$(\sqrt{2}+(\sqrt{5}-\sqrt{7}))$を掛けます。

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}} = \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7})^2}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5}-\sqrt{7})^2}$

分子を計算します：

$(\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7})^2 = (\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}) = (\sqrt{2}+\sqrt{5})^2 - 2(\sqrt{2}+\sqrt{5})\sqrt{7} + 7 = 2+2\sqrt{10}+5 - 2\sqrt{14}-2\sqrt{35} + 7 = 14 + 2\sqrt{10} - 2\sqrt{14} - 2\sqrt{35}$

分母を計算します：

$(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5}-\sqrt{7})^2 = 2 - (5 - 2\sqrt{35} + 7) = 2 - 12 + 2\sqrt{35} = -10 + 2\sqrt{35}$

したがって、

$\frac{14 + 2\sqrt{10} - 2\sqrt{14} - 2\sqrt{35}}{-10 + 2\sqrt{35}} = \frac{7 + \sqrt{10} - \sqrt{14} - \sqrt{35}}{-5 + \sqrt{35}}$

さらに分母を有理化するために、分母と分子に$5 + \sqrt{35}$を掛けます。

$\frac{7 + \sqrt{10} - \sqrt{14} - \sqrt{35}}{-5 + \sqrt{35}} \cdot \frac{5 + \sqrt{35}}{5 + \sqrt{35}} = \frac{(7 + \sqrt{10} - \sqrt{14} - \sqrt{35})(5 + \sqrt{35})}{(\sqrt{35})^2 - 5^2} = \frac{35 + 7\sqrt{35} + 5\sqrt{10} + \sqrt{350} - 5\sqrt{14} - \sqrt{490} - 5\sqrt{35} - 35}{35 - 25} = \frac{2\sqrt{35} + 5\sqrt{10} + \sqrt{25 \cdot 14} - 5\sqrt{14} - \sqrt{49 \cdot 10}}{10} = \frac{2\sqrt{35} + 5\sqrt{10} + 5\sqrt{14} - 5\sqrt{14} - 7\sqrt{10}}{10} = \frac{2\sqrt{35} - 2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{35} - \sqrt{10}}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{35} - \sqrt{10}}{5}$