与えられた2次方程式の解の種類を判別式を用いて判定する問題です。具体的には、以下の2つの方程式について解の種類を判別します。 (1) $4x^2 + 6x + 1 = 0$ (2) $x^2 + 2x + \sqrt{5} = 0$

1. 問題の内容

与えられた2次方程式の解の種類を判別式を用いて判定する問題です。具体的には、以下の2つの方程式について解の種類を判別します。

(1) $4x^2 + 6x + 1 = 0$

(2) $x^2 + 2x + \sqrt{5} = 0$

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

判別式 $D$ の値によって、解の種類は以下のように分類されます。

* $D > 0$ : 異なる2つの実数解

* $D = 0$ : 重解（1つの実数解）

* $D < 0$ : 異なる2つの虚数解

(1) $4x^2 + 6x + 1 = 0$ の場合：

$a = 4$, $b = 6$, $c = 1$ なので、判別式 $D$ は

$D = 6^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 36 - 16 = 20$

$D = 20 > 0$ より、異なる2つの実数解を持ちます。

(2) $x^2 + 2x + \sqrt{5} = 0$ の場合：

$a = 1$, $b = 2$, $c = \sqrt{5}$ なので、判別式 $D$ は

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} = 4 - 4\sqrt{5}$

ここで、$2 < \sqrt{5} < 3$ であるから、$4\sqrt{5} > 8$ であり、$4 - 4\sqrt{5} < 4 - 8 = -4 < 0$

したがって、$D < 0$ より、異なる2つの虚数解を持ちます。

3. 最終的な答え

(1) $4x^2 + 6x + 1 = 0$ は異なる2つの実数解を持つ。

(2) $x^2 + 2x + \sqrt{5} = 0$ は異なる2つの虚数解を持つ。