与えられた5つの問題を解き、空欄を埋める問題です。 (1) $6x^2 - 5x - 21$ を因数分解する。 (2) $(a+2b-3)(a-2b+3)$ を展開し、整理する。 (3) $|\sqrt{7} - 2| + |\sqrt{7} - 3|$ を計算し、簡単にする。 (4) 連立不等式 $\begin{cases} \frac{5}{6}x - \frac{1}{3} < \frac{x}{3} + \frac{1}{2} \\ \frac{4x+3}{2} \le 4x - 1 \end{cases}$ を解く。 (5) $a+b = 2\sqrt{5}$, $ab = -7$ のとき、$a^2 + b^2 - 3ab$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた5つの問題を解き、空欄を埋める問題です。

(1) $6x^2 - 5x - 21$ を因数分解する。

(2) $(a+2b-3)(a-2b+3)$ を展開し、整理する。

(3) $|\sqrt{7} - 2| + |\sqrt{7} - 3|$ を計算し、簡単にする。

(4) 連立不等式 $\begin{cases} \frac{5}{6}x - \frac{1}{3} < \frac{x}{3} + \frac{1}{2} \\ \frac{4x+3}{2} \le 4x - 1 \end{cases}$ を解く。

(5) $a+b = 2\sqrt{5}$, $ab = -7$ のとき、$a^2 + b^2 - 3ab$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) $6x^2 - 5x - 21$ を因数分解する。

$6x^2 - 5x - 21 = (2x-3)(3x+7)$

(2) $(a+2b-3)(a-2b+3)$ を展開し、整理する。

$(a+2b-3)(a-2b+3) = (a+(2b-3))(a-(2b-3)) = a^2 - (2b-3)^2 = a^2 - (4b^2 - 12b + 9) = a^2 - 4b^2 + 12b - 9$

(3) $|\sqrt{7} - 2| + |\sqrt{7} - 3|$ を計算し、簡単にする。

$\sqrt{7} \approx 2.64$ なので、$\sqrt{7} - 2 > 0$ かつ $\sqrt{7} - 3 < 0$。

$|\sqrt{7} - 2| + |\sqrt{7} - 3| = (\sqrt{7} - 2) + (3 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 2 + 3 - \sqrt{7} = 1$

(4) 連立不等式 $\begin{cases} \frac{5}{6}x - \frac{1}{3} < \frac{x}{3} + \frac{1}{2} \\ \frac{4x+3}{2} \le 4x - 1 \end{cases}$ を解く。

まず、1つ目の不等式を解く。両辺に6を掛けて $5x - 2 < 2x + 3$ より $3x < 5$ なので $x < \frac{5}{3}$。

次に、2つ目の不等式を解く。両辺に2を掛けて $4x + 3 \le 8x - 2$ より $5 \le 4x$ なので $x \ge \frac{5}{4}$。

したがって、$\frac{5}{4} \le x < \frac{5}{3}$。

(5) $a+b = 2\sqrt{5}$, $ab = -7$ のとき、$a^2 + b^2 - 3ab$ を計算する。

$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = (2\sqrt{5})^2 - 2(-7) = 4(5) + 14 = 20 + 14 = 34$。

よって、$a^2 + b^2 - 3ab = 34 - 3(-7) = 34 + 21 = 55$。

3. 最終的な答え

(1) $(2x-3)(3x+7)$

(2) $a^2 - 4b^2 + 12b - 9$

(3) $1$

(4) $\frac{5}{4} \le x < \frac{5}{3}$

(5) $55$