次の式を2重根号をはずして簡単にせよ。 $\sqrt{4 + \sqrt{7}}$

1. 問題の内容

次の式を2重根号をはずして簡単にせよ。

$\sqrt{4 + \sqrt{7}}$

2. 解き方の手順

まず、2重根号を外すために、根号の中の式を$a + b + 2\sqrt{ab}$ の形に変形することを考えます。

$\sqrt{4 + \sqrt{7}}$ のように、$\sqrt{ }$ の中に $\sqrt{ }$ がある場合、2重根号を外すために、内側の $\sqrt{ }$ の係数を2にする必要があります。したがって、$\sqrt{4 + \sqrt{7}}$ に $\sqrt{2}/\sqrt{2}$ を掛けて、

$\sqrt{4 + \sqrt{7}} = \sqrt{\frac{2}{2}(4 + \sqrt{7})} = \sqrt{\frac{8 + 2\sqrt{7}}{2}}$

ここで、 $8 + 2\sqrt{7} = 7 + 1 + 2\sqrt{7} = (\sqrt{7})^2 + 1^2 + 2\sqrt{7}\cdot1 = (\sqrt{7} + 1)^2$ と変形できます。

したがって、

$\sqrt{\frac{8 + 2\sqrt{7}}{2}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{7} + 1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{7} + 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14} + \sqrt{2}}{2}$

となります。

与えられた画像の計算は間違いです。

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{14} + \sqrt{2}}{2}$