$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{x}{2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{x}{2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

積和の公式を利用します。

$\sin A \cos B = \frac{1}{2}\{\sin(A+B) + \sin(A-B)\}$

この公式に $A = \frac{5x}{2}$, $B = \frac{x}{2}$ を代入すると

$\sin \frac{5x}{2} \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2}\{\sin(\frac{5x}{2}+\frac{x}{2}) + \sin(\frac{5x}{2}-\frac{x}{2})\} = \frac{1}{2}\{\sin(3x) + \sin(2x)\}$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{x}{2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}(\sin 3x + \sin 2x) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin 3x + \sin 2x) dx$

$= \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{3} \cos 3x - \frac{1}{2} \cos 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left\{ (-\frac{1}{3} \cos \frac{3\pi}{2} - \frac{1}{2} \cos \pi) - (-\frac{1}{3} \cos 0 - \frac{1}{2} \cos 0) \right\}$

$\cos \frac{3\pi}{2} = 0$, $\cos \pi = -1$, $\cos 0 = 1$ なので、

$= \frac{1}{2} \left\{ (-\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot (-1)) - (-\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1) \right\} = \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right\}$

$= \frac{1}{2} \left\{ 1 + \frac{1}{3} \right\} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$