与えられた極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}}$ ($a > 0$) を計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}}$ ($a > 0$) を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$a^x$で分子と分母を割ります。

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\lim_{x \to \infty} \frac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - a^{-2x}}{1 + a^{-2x}}

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ここで、$a > 0$の場合を考慮します。

(1) $a > 1$ のとき、$a^{-2x} = \frac{1}{a^{2x}}$ となり、$x \to \infty$ で $a^{2x} \to \infty$ なので、$a^{-2x} \to 0$ となります。

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\lim_{x \to \infty} \frac{1 - a^{-2x}}{1 + a^{-2x}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1

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(2) $a = 1$ のとき、$a^x = 1$ かつ $a^{-x} = 1$ なので、

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\lim_{x \to \infty} \frac{1^x - 1^{-x}}{1^x + 1^{-x}} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0

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(3) $0 < a < 1$ のとき、$a^{-2x} = \frac{1}{a^{2x}}$ となり、$x \to \infty$ で $a^{2x} \to 0$ なので、$a^{-2x} \to \infty$ となります。

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\lim_{x \to \infty} \frac{1 - a^{-2x}}{1 + a^{-2x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{a^{2x} - 1}{a^{2x} + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1

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3. 最終的な答え

$a > 1$ のとき、答えは 1

$a = 1$ のとき、答えは 0

$0 < a < 1$ のとき、答えは -1

場合分けして記述すると：

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\lim_{x \to \infty} \frac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}} =

\begin{cases}

1 & \text{if } a > 1 \\

0 & \text{if } a = 1 \\

-1 & \text{if } 0 < a < 1

\end{cases}

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しかし、$a > 0$なので、$a=1$の場合を考慮しなければ，$a > 1$の場合と$0 < a < 1$の場合のみ考えれば良い.

あるいは、問題文で$a>0$と指定されているので、$a=1$の場合を考えずに、以下のように答えても良い。

$a > 1$のとき、1

$0 < a < 1$のとき、-1