与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to \infty} \frac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}} \quad (a > 0) $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}} \quad (a > 0)$$

2. 解き方の手順

まず、$a^x$ で分子と分母を割ります。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - a^{-2x}}{1 + a^{-2x}}$$

ここで、$a > 0$ の場合を考えます。

- $a > 1$ のとき、$x \to \infty$ で $a^{-2x} \to 0$ となります。

- $a = 1$ のとき、$a^{-2x} = 1$ となります。

- $0 < a < 1$ のとき、$x \to \infty$ で $a^{-2x} \to \infty$ となります。

$a > 1$ の場合：

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1 - a^{-2x}}{1 + a^{-2x}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$$

$a = 1$ の場合：

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1 - 1^{-2x}}{1 + 1^{-2x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$$

$0 < a < 1$ の場合：

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1 - a^{-2x}}{1 + a^{-2x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{a^{2x} - 1}{a^{2x} + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - a^{-2x}}{1 + a^{-2x}} = \frac{-\infty}{\infty}$$

ここで再度、$a^{2x}$で割ります。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{a^{2x} - 1}{a^{2x} + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - a^{-2x}}{1 + a^{-2x}}$$

$x \to \infty$ において、$a^{2x} \to 0$　なので、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{a^{2x} - 1}{a^{2x} + 1} = \frac{0-1}{0+1} = -1$$

しかし、問題文には a>0 としか書かれていないので、$a = 1$ の場合と、$0 < a < 1$ の場合は除外されていません。

問題文の条件が$a>1$であれば、答えは1です。

ここでは、a>0の場合で場合分けして答えを記述します。

3. 最終的な答え

$a > 1$ のとき、答えは $1$。

$a = 1$ のとき、答えは $0$。

$0 < a < 1$ のとき、答えは $-1$。

問題文にa>0としか書いてないので、場合分けで答えを示すのが良いかと思います。

a>1という条件が書かれていれば1が答えになります。