与えられた式 $\sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$ を、 $x$ の範囲に応じて $\cos^{-1}x$ または $\pi - \cos^{-1}x$ で表すことを示す問題です。 具体的には、$0 \le x \le 1$ のとき $\cos^{-1}x$、$ -1 \le x \le 0$ のとき $\pi - \cos^{-1}x$ となることを示します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$ を、 $x$ の範囲に応じて $\cos^{-1}x$ または $\pi - \cos^{-1}x$ で表すことを示す問題です。 具体的には、$0 \le x \le 1$ のとき $\cos^{-1}x$、$-1 \le x \le 0$ のとき $\pi - \cos^{-1}x$ となることを示します。

2. 解き方の手順

まず、$x = \cos\theta$ と置きます。

$\theta$ の範囲は、$\cos^{-1}x$ の定義域から、$0 \le \theta \le \pi$ となります。

このとき、$\sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{\sin^2\theta} = |\sin\theta|$ となります。

$\theta$ の範囲が $0 \le \theta \le \pi$ であることから、$\sin\theta \ge 0$ なので、$\sqrt{1-x^2} = \sin\theta$ となります。

したがって、$\sin^{-1}\sqrt{1 - x^2} = \sin^{-1}(\sin\theta)$ です。

次に、$x$ の範囲に応じて場合分けします。

* $0 \le x \le 1$ のとき:

$0 \le \cos\theta \le 1$ となるので、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ です。

この範囲では、$\sin^{-1}(\sin\theta) = \theta = \cos^{-1}x$ となります。

* $-1 \le x \le 0$ のとき:

$-1 \le \cos\theta \le 0$ となるので、$\frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi$ です。

この範囲では、$\sin\theta = \sin(\pi - \theta)$ であり、$0 \le \pi - \theta \le \frac{\pi}{2}$ です。

したがって、$\sin^{-1}(\sin\theta) = \sin^{-1}(\sin(\pi - \theta)) = \pi - \theta = \pi - \cos^{-1}x$ となります。

3. 最終的な答え

$\sin^{-1}\sqrt{1-x^2} =

\begin{cases}

\cos^{-1}x & (0 \le x \le 1) \\

\pi - \cos^{-1}x & (-1 \le x \le 0)

\end{cases}$