1つのサイコロを投げ、出た目を4で割った余りを点数とするゲームを2回行う。1回目の点数を$X$、2回目の点数を$Y$とする。$X=k$となる確率$P(X=k) (k=0, 1, 2, 3)$、平均$E(X)$、分散$V(X)$、 $X+Y$の平均$E(X+Y)$と分散$V(X+Y)$、 $4XY$の平均$E(4XY)$、 $3X-Y$の平均$E(3X-Y)$と分散$V(3X-Y)$を求める問題。

1. 問題の内容

1つのサイコロを投げ、出た目を4で割った余りを点数とするゲームを2回行う。1回目の点数を$X$、2回目の点数を$Y$とする。$X=k$となる確率$P(X=k) (k=0, 1, 2, 3)$、平均$E(X)$、分散$V(X)$、 $X+Y$の平均$E(X+Y)$と分散$V(X+Y)$、 $4XY$の平均$E(4XY)$、 $3X-Y$の平均$E(3X-Y)$と分散$V(3X-Y)$を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、$X$（または$Y$）の取りうる値は0, 1, 2, 3であり、サイコロの目がそれぞれ4で割ると、余りが0となるのは4のみ、余りが1となるのは1, 5、余りが2となるのは2, 6、余りが3となるのは3である。したがって、

$P(X=0)=P(X=3)=\frac{1}{6}$

$P(X=1)=P(X=2)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

よって、

$E(X) = 0 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{6} = 0 + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$E(X^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{6} + 1^2 \cdot \frac{1}{3} + 2^2 \cdot \frac{1}{3} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} = 0 + \frac{1}{3} + \frac{4}{3} + \frac{9}{6} = \frac{5}{3} + \frac{3}{2} = \frac{10+9}{6} = \frac{19}{6}$

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{19}{6} - (\frac{3}{2})^2 = \frac{19}{6} - \frac{9}{4} = \frac{38 - 27}{12} = \frac{11}{12}$

次に、$X$と$Y$は独立なので、

$E(X+Y) = E(X) + E(Y) = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3$

$V(X+Y) = V(X) + V(Y) = \frac{11}{12} + \frac{11}{12} = \frac{22}{12} = \frac{11}{6}$

また、

$E(XY) = E(X)E(Y) = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$

$E(4XY) = 4E(XY) = 4 \cdot \frac{9}{4} = 9$

$E(3X-Y) = 3E(X) - E(Y) = 3 \cdot \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = \frac{9}{2} - \frac{3}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$V(3X-Y) = V(3X) + V(-Y) = 3^2V(X) + (-1)^2V(Y) = 9V(X) + V(Y) = 9 \cdot \frac{11}{12} + \frac{11}{12} = \frac{99+11}{12} = \frac{110}{12} = \frac{55}{6}$

3. 最終的な答え

ア：1

イ：6

ウ：1

エ：3

オ：3

カ：2

キク：11

ケコ：12

サ：3

シス：11

セ：6

ソ：9

タ：3

チッ：55

テ：6