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$y = \sin^{-1}(\sqrt{1 - x^2})$ の導関数を求める問題です。

解析学導関数逆三角関数合成関数の微分微分
2025/6/1

1. 問題の内容

y=sin⁡−1(1−x2)y = \sin^{-1}(\sqrt{1 - x^2}) の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、y=sin⁡−1(u)y = \sin^{-1}(u)、 u=1−x2u = \sqrt{1-x^2} と置きます。
合成関数の微分法より、
dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
dydu=ddu(sin⁡−1(u))=11−u2\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} (\sin^{-1}(u)) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}
dudx=ddx(1−x2)=121−x2⋅(−2x)=−x1−x2\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (\sqrt{1 - x^2}) = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}
したがって、
dydx=11−(1−x2)2⋅−x1−x2\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{1 - x^2})^2}} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}
dydx=11−(1−x2)⋅−x1−x2\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^2)}} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}
dydx=1x2⋅−x1−x2\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2}} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}
dydx=1∣x∣⋅−x1−x2\frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}
x>0x > 0 のとき、 ∣x∣=x|x| = x なので、
dydx=1x⋅−x1−x2=−11−x2\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}
x<0x < 0 のとき、 ∣x∣=−x|x| = -x なので、
dydx=1−x⋅−x1−x2=11−x2\frac{dy}{dx} = \frac{1}{-x} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

3. 最終的な答え

x>0x > 0 のとき、dydx=−11−x2\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}
x<0x < 0 のとき、dydx=11−x2\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

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