$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限は、$\frac{0}{0}$の不定形であるため、ロピタルの定理を適用します。ロピタルの定理を繰り返し適用することで、極限を計算することができます。

1回目のロピタルの定理の適用：

分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(x - \sin x) = 1 - \cos x$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2}$

これはまだ$\frac{0}{0}$の不定形であるため、再びロピタルの定理を適用します。

2回目のロピタルの定理の適用：

分子の微分: $\frac{d}{dx}(1 - \cos x) = \sin x$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(3x^2) = 6x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x}$

これもまだ$\frac{0}{0}$の不定形であるため、再びロピタルの定理を適用します。

3回目のロピタルの定理の適用：

分子の微分: $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(6x) = 6$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6}$

$x \to 0$のとき、$\cos x \to 1$なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$