問題10-3(8)の微分を対数微分法を用いて解く問題です。 関数は $y = \frac{(x-1)\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}}$ です。

1. 問題の内容

問題10-3(8)の微分を対数微分法を用いて解く問題です。

関数は $y = \frac{(x-1)\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、両辺の自然対数を取ります。

$\log y = \log \frac{(x-1)\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}}$

対数の性質を用いて式を整理します。

$\log y = \log(x-1) + \log\sqrt{x+1} - \log\sqrt{x}$

$\log y = \log(x-1) + \frac{1}{2}\log(x+1) - \frac{1}{2}\log x$

次に、両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x+1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{2(x+1)} - \frac{1}{2x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{2(x+1)} - \frac{1}{2x} \right)$

$y$ に元の関数を代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}} \left( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{2(x+1)} - \frac{1}{2x} \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}} \left( \frac{2x(x+1) + x(x-1) - (x-1)(x+1)}{2x(x-1)(x+1)} \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}} \left( \frac{2x^2+2x + x^2 -x - (x^2 - 1)}{2x(x-1)(x+1)} \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}} \left( \frac{2x^2 + x + 1}{2x(x-1)(x+1)} \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}} \left( \frac{2x^2 + x + 1}{2x(x+1)} \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2+x+1}{2x\sqrt{x(x+1)}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2+x+1}{2x\sqrt{x(x+1)}}$