与えられた関数 $y = (\log x)^x$ (ただし、$x > 1$)の導関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (\log x)^x$ (ただし、$x > 1$)の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln((\log x)^x)$

対数の性質を用いて式を整理します。

$\ln y = x \ln(\log x)$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は合成関数の微分、右辺は積の微分を使います。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(\log x) + x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}$

式を整理します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(\log x) + \frac{1}{\log x}$

$\frac{dy}{dx}$について解きます。

$\frac{dy}{dx} = y \left( \ln(\log x) + \frac{1}{\log x} \right)$

$y = (\log x)^x$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = (\log x)^x \left( \ln(\log x) + \frac{1}{\log x} \right)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (\log x)^x \left( \ln(\log x) + \frac{1}{\log x} \right)$