与えられた関数 $y = \sqrt[3]{(x^2 + x + 1)^2}$ の微分 $y'$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \sqrt[3]{(x^2 + x + 1)^2}$ の微分 $y'$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を指数を用いて書き換えます。

$y = (x^2 + x + 1)^{\frac{2}{3}}$

次に、合成関数の微分法（チェーンルール）を適用します。

$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

ここで、$u = x^2 + x + 1$ とおくと、$y = u^{\frac{2}{3}}$となります。

$\frac{dy}{du} = \frac{2}{3}u^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3}u^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3}(x^2 + x + 1)^{-\frac{1}{3}}$

$\frac{du}{dx} = 2x + 1$

したがって、

$y' = \frac{2}{3}(x^2 + x + 1)^{-\frac{1}{3}}(2x + 1)$

$y' = \frac{2(2x + 1)}{3(x^2 + x + 1)^{\frac{1}{3}}}$

$y' = \frac{2(2x + 1)}{3\sqrt[3]{x^2 + x + 1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{2(2x + 1)}{3\sqrt[3]{x^2 + x + 1}}$