与えられた関数 $y = \tan^{-1} \frac{1}{1+x^2}$ を微分して、$y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \tan^{-1} \frac{1}{1+x^2}$ を微分して、$y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、逆正接関数の微分公式を確認します。

$\frac{d}{dx} \tan^{-1} u = \frac{1}{1+u^2} \frac{du}{dx}$

ここで、$u = \frac{1}{1+x^2}$ と置くと、

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (1+x^2)^{-1} = -1(1+x^2)^{-2}(2x) = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}$

したがって、

$y' = \frac{1}{1 + (\frac{1}{1+x^2})^2} \cdot \frac{-2x}{(1+x^2)^2}$

$y' = \frac{1}{1 + \frac{1}{(1+x^2)^2}} \cdot \frac{-2x}{(1+x^2)^2}$

$y' = \frac{1}{\frac{(1+x^2)^2 + 1}{(1+x^2)^2}} \cdot \frac{-2x}{(1+x^2)^2}$

$y' = \frac{(1+x^2)^2}{(1+x^2)^2 + 1} \cdot \frac{-2x}{(1+x^2)^2}$

$y' = \frac{-2x}{(1+x^2)^2 + 1}$

$y' = \frac{-2x}{1 + 2x^2 + x^4 + 1}$

$y' = \frac{-2x}{x^4 + 2x^2 + 2}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{-2x}{x^4 + 2x^2 + 2}$