与えられた2つの不定積分を、置換積分を用いて計算する問題です。 (1) $\int (3x-5)^4 dx$ (2) $\int \sqrt{5x+1} dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの不定積分を、置換積分を用いて計算する問題です。

(1) $\int (3x-5)^4 dx$

(2) $\int \sqrt{5x+1} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (3x-5)^4 dx$ の場合

* **ステップ1: 置換**

$u = 3x - 5$ と置きます。

* **ステップ2: 微分**

$du = 3 dx$ より $dx = \frac{1}{3} du$ となります。

* **ステップ3: 積分**

$\int (3x-5)^4 dx = \int u^4 \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^4 du = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^5}{5} + C = \frac{u^5}{15} + C$

* **ステップ4: 元に戻す**

$u = 3x - 5$ を代入して、$\frac{(3x-5)^5}{15} + C$ となります。

(2) $\int \sqrt{5x+1} dx$ の場合

* **ステップ1: 置換**

$u = 5x + 1$ と置きます。

* **ステップ2: 微分**

$du = 5 dx$ より $dx = \frac{1}{5} du$ となります。

* **ステップ3: 積分**

$\int \sqrt{5x+1} dx = \int \sqrt{u} \frac{1}{5} du = \frac{1}{5} \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{1}{5} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{15} u^{\frac{3}{2}} + C$

* **ステップ4: 元に戻す**

$u = 5x + 1$ を代入して、$\frac{2}{15} (5x+1)^{\frac{3}{2}} + C$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{(3x-5)^5}{15} + C$

(2) $\frac{2}{15} (5x+1)^{\frac{3}{2}} + C$