(1) $\arcsin \frac{1}{2}$ と $\arctan (-\sqrt{3})$ の値を求めます。 (2) 単位円またはその一部を用いて、$\cos(\arcsin u) = \sqrt{1-u^2}$ を示します。 (3) $\lim_{x \to 1} (x^2 + 3) = 4$ が成り立つことを、極限値の基本性質のうち和の性質と積の性質をそれぞれ一度ずつ用いて説明します。

1. 問題の内容

(1) $\arcsin \frac{1}{2}$ と $\arctan (-\sqrt{3})$ の値を求めます。

(2) 単位円またはその一部を用いて、$\cos(\arcsin u) = \sqrt{1-u^2}$ を示します。

(3) $\lim_{x \to 1} (x^2 + 3) = 4$ が成り立つことを、極限値の基本性質のうち和の性質と積の性質をそれぞれ一度ずつ用いて説明します。

2. 解き方の手順

(1) 逆三角関数の値を求めます。

$\arcsin \frac{1}{2}$: $\sin \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求める。$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で考えると、$\theta = \frac{\pi}{6}$。

$\arctan (-\sqrt{3})$: $\tan \theta = -\sqrt{3}$ となる $\theta$ を求める。$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で考えると、$\theta = -\frac{\pi}{3}$。

(2) $\cos(\arcsin u) = \sqrt{1-u^2}$ を示します。

$y = \arcsin u$ とおく。すると、$\sin y = u$ となる。

$\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ より、$\cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - u^2$。

したがって、$\cos y = \pm \sqrt{1 - u^2}$。

ここで、$y = \arcsin u$ であるから、$-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$。

この範囲では、$\cos y \ge 0$ であるから、$\cos y = \sqrt{1 - u^2}$。

よって、$\cos(\arcsin u) = \sqrt{1-u^2}$。

(3) $\lim_{x \to 1} (x^2 + 3) = 4$ を、極限値の基本性質（和と積）を使って示します。

$\lim_{x \to 1} x = 1$

積の性質より、$\lim_{x \to 1} x^2 = \lim_{x \to 1} (x \cdot x) = (\lim_{x \to 1} x) \cdot (\lim_{x \to 1} x) = 1 \cdot 1 = 1$。

和の性質より、$\lim_{x \to 1} (x^2 + 3) = \lim_{x \to 1} x^2 + \lim_{x \to 1} 3 = 1 + 3 = 4$。

よって、$\lim_{x \to 1} (x^2 + 3) = 4$ が示された。

3. 最終的な答え

(1) $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, $\arctan (-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$

(2) $\cos(\arcsin u) = \sqrt{1-u^2}$

(3) $\lim_{x \to 1} (x^2 + 3) = 4$ （証明は上記参照）