$y = \tan^{-1} x$ のマクローリン級数を求める問題です。

1. 問題の内容

$y = \tan^{-1} x$ のマクローリン級数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \tan^{-1} x$ の導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^2}$

$\frac{1}{1+x^2}$ は等比数列の和として表すことができます。

$\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$

この級数は $|x^2| < 1$, つまり $|x| < 1$ で収束します。

次に、上記の導関数の級数を積分して $y = \tan^{-1} x$ のマクローリン級数を求めます。

$\tan^{-1} x = \int \frac{1}{1+x^2} dx = \int \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} dx$

$\tan^{-1} x = \sum_{n=0}^{\infty} \int (-1)^n x^{2n} dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + C$

$x = 0$ のとき、$\tan^{-1} 0 = 0$ なので、$C = 0$ となります。

したがって、

$\tan^{-1} x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \dots$

3. 最終的な答え

$\tan^{-1} x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$