関数 $f(x) = \sin^{-1}(\sqrt{1-2x^2})$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sin^{-1}(\sqrt{1-2x^2})$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分公式を使います。

$f(x) = \sin^{-1}(u)$ とおくと、$u = \sqrt{1-2x^2}$ です。

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{df}{du} = \frac{d}{du} (\sin^{-1}(u)) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$

$u = \sqrt{1-2x^2} = (1-2x^2)^{1/2}$ より、

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2} (1-2x^2)^{-1/2} \cdot (-4x) = \frac{-2x}{\sqrt{1-2x^2}}$

したがって、

$\frac{df}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{-2x}{\sqrt{1-2x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-(1-2x^2)}} \cdot \frac{-2x}{\sqrt{1-2x^2}}$

$= \frac{1}{\sqrt{2x^2}} \cdot \frac{-2x}{\sqrt{1-2x^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}|x|} \cdot \frac{-2x}{\sqrt{1-2x^2}} = \frac{-\sqrt{2}x}{|x| \sqrt{1-2x^2}}$

$x > 0$ のとき、$|x| = x$ なので、$\frac{df}{dx} = \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{1-2x^2}}$

$x < 0$ のとき、$|x| = -x$ なので、$\frac{df}{dx} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1-2x^2}}$

まとめて書くと

$f'(x) = \begin{cases}

\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{1-2x^2}} & x > 0 \\

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1-2x^2}} & x < 0

\end{cases}$

または、符号関数 $\text{sgn}(x) = \frac{x}{|x|}$ を用いて、$f'(x) = \frac{-\sqrt{2} \text{sgn}(x)}{\sqrt{1-2x^2}}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{-\sqrt{2}x}{|x|\sqrt{1-2x^2}}$

または

$f'(x) = \begin{cases}

\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{1-2x^2}} & x > 0 \\

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1-2x^2}} & x < 0

\end{cases}$

または

$f'(x) = \frac{-\sqrt{2}\text{sgn}(x)}{\sqrt{1-2x^2}}$