7人の大人と5人の子供の中から3人を選ぶとき、以下の条件を満たす選び方はそれぞれ何通りあるか。 (1) 大人が2人以上選ばれる。 (2) 少なくとも子供が1人選ばれる。

1. 問題の内容

7人の大人と5人の子供の中から3人を選ぶとき、以下の条件を満たす選び方はそれぞれ何通りあるか。

(1) 大人が2人以上選ばれる。

(2) 少なくとも子供が1人選ばれる。

2. 解き方の手順

(1) 大人が2人以上選ばれる場合

まず、3人を選ぶすべての選び方を計算します。これは、7人の大人と5人の子供の合計12人から3人を選ぶ組み合わせなので、$_{12}C_3$で計算できます。

$_{12}C_3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$通りです。

次に、大人が1人も選ばれない場合を計算します。これは、5人の子供から3人を選ぶ組み合わせなので、$_{5}C_3$で計算できます。

$_{5}C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りです。

また、大人が1人だけ選ばれる場合を計算します。これは、7人の大人から1人を選び、かつ5人の子供から2人を選ぶ組み合わせなので、$_{7}C_1 \times _{5}C_2$で計算できます。

$_{7}C_1 \times _{5}C_2 = 7 \times \frac{5!}{2!3!} = 7 \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 7 \times 10 = 70$通りです。

大人が2人以上選ばれる場合は、すべての選び方から、大人が1人も選ばれない場合と大人が1人だけ選ばれる場合を引けば求められます。

$220 - 10 - 70 = 140$通り

(2) 少なくとも子供が1人選ばれる場合

すべての選び方（220通り）から子供が1人も選ばれない場合、つまり大人3人を選ぶ場合を引けば求められます。

7人の大人から3人を選ぶ組み合わせは、$_{7}C_3$で計算できます。

$_{7}C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$通りです。

したがって、少なくとも子供が1人選ばれる場合は、$220 - 35 = 185$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 140通り

(2) 185通り