8人を指定された人数と部屋に分ける場合の数を求める問題です。 (1) 8人を3人部屋A, 3人部屋B, 2人部屋Cの3部屋に分ける場合の数を求めます。 (2) 8人を3人, 3人, 2人の3つのグループに分ける場合の数を求めます。

1. 問題の内容

8人を指定された人数と部屋に分ける場合の数を求める問題です。

(1) 8人を3人部屋A, 3人部屋B, 2人部屋Cの3部屋に分ける場合の数を求めます。

(2) 8人を3人, 3人, 2人の3つのグループに分ける場合の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 3人部屋A, 3人部屋B, 2人部屋Cに分ける場合

まず、8人からAの部屋に入る3人を選ぶ組み合わせは $_8C_3$通りあります。

次に、残った5人からBの部屋に入る3人を選ぶ組み合わせは $_5C_3$通りあります。

最後に、残った2人はCの部屋に入ります。組み合わせは $_2C_2 = 1$通りです。

したがって、分ける場合の数は

$_8C_3 \times _5C_3 \times _2C_2 = \frac{8!}{3!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times 1 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 56 \times 10 = 560$ 通り

(2) 3人, 3人, 2人の3つの組に分ける場合

まず、8人から3人を選ぶ組み合わせは $_8C_3$通りあります。

次に、残った5人から3人を選ぶ組み合わせは $_5C_3$通りあります。

最後に、残った2人を選ぶ組み合わせは $_2C_2 = 1$通りです。

ここで、3人のグループが2つあるため、グループの区別がないので、同じ人数のグループの並び順で割る必要があります。

したがって、分ける場合の数は

$\frac{_8C_3 \times _5C_3 \times _2C_2}{2!} = \frac{\frac{8!}{3!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times 1}{2} = \frac{\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1}}{2} = \frac{56 \times 10}{2} = \frac{560}{2} = 280$ 通り

3. 最終的な答え

(1) 560通り

(2) 280通り