与えられた数学の問題は全部で8問あり、それぞれ以下の内容です。 1. 扇形の弧の長さと面積を求める問題

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は全部で8問あり、それぞれ以下の内容です。

1. 扇形の弧の長さと面積を求める問題

2. 三角関数の方程式と不等式を解く問題

3. 三角関数の最大値と最小値を求める問題

4. 三角関数の値を求める問題

5. 極限を求める問題

6. 関数の微分を求める問題

7. 関数のグラフ上の点における接線の傾きを求める問題

8. 2つの円の外側にひもをかけたときの長さを求める問題

2. 解き方の手順

各問題について、解き方の手順を示します。

1. 扇形の弧の長さ $l$ と面積 $S$ は、半径を $r$、中心角を $\theta$ (ラジアン)とすると、$l = r\theta$、$S = \frac{1}{2}r^2\theta$ で求められます。

この問題では、$r = 9$、$\theta = \frac{4}{3}\pi$ なので、$l = 9 \times \frac{4}{3}\pi = 12\pi$、$S = \frac{1}{2} \times 9^2 \times \frac{4}{3}\pi = 54\pi$ となります。

2. (1) $2\sin\theta = -1$ より、$\sin\theta = -\frac{1}{2}$。$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で解くと、$\theta = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$ となります。

(2) $2\cos\theta + \sqrt{2} > 0$ より、$\cos\theta > -\frac{\sqrt{2}}{2}$。$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で解くと、$0 \le \theta < \frac{3}{4}\pi, \frac{5}{4}\pi < \theta < 2\pi$ となります。

(3) $\cos(\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4}, \frac{7}{4}\pi$。$\theta = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{12}, \frac{7}{4}\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{19}{12}\pi$となります。

3. $y = \cos^2\theta - \sin\theta + 1 = 1 - \sin^2\theta - \sin\theta + 1 = -\sin^2\theta - \sin\theta + 2$。$t = \sin\theta$ とおくと、$y = -t^2 - t + 2 = -(t + \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}$。$-1 \le t \le 1$ より、$t = -\frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{9}{4}$、$t = 1$ のとき最小値 $0$ をとります。

$t = \sin\theta = -\frac{1}{2}$ より、$\theta = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$。$t = \sin\theta = 1$ より、$\theta = \frac{\pi}{2}$。

4. $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ より、$\cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = -\frac{\sqrt{15}}{4}$。

$\frac{3}{2}\pi < \beta < 2\pi$ より、$\sin\beta = -\sqrt{1 - \cos^2\beta} = -\sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$。

(1) $\sin\beta = -\frac{\sqrt{5}}{3}$

(2) $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} + (-\frac{\sqrt{15}}{4}) \times (-\frac{\sqrt{5}}{3}) = \frac{2 + 5\sqrt{3}}{12}$

(3) $\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = (-\frac{\sqrt{15}}{4})^2 - (\frac{1}{4})^2 = \frac{15}{16} - \frac{1}{16} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$

(4) $\sin\frac{\beta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\beta}{2}}$. $\frac{3\pi}{4} < \frac{\beta}{2} < \pi$ より $\sin\frac{\beta}{2} > 0$ よって $\sin\frac{\beta}{2} = \sqrt{\frac{1-\frac{2}{3}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$

5. $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 1^2 + 1 + 1 = 3$

6. (1) $y = -3x^2 + 6x - 5$ より、$y' = -6x + 6$

(2) $y = (x - 1)(3 - 2x) = -2x^2 + 5x - 3$ より、$y' = -4x + 5$

7. $y = 3x^2 - 1$ より、$y' = 6x$。$x = -2$ における接線の傾きは、$y'(-2) = 6 \times (-2) = -12$。

8. 2つの円の中心間の距離が 10 cm、半径がそれぞれ 6 cm と 1 cm なので、共通外接線の長さは$\sqrt{10^2 - (6 - 1)^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ となります。

ひもの長さは、共通外接線 2 本分と、大きい円の残りの弧の部分と小さい円の残りの弧の部分の長さを足したものになるので、$2\pi \times 6 + 2\pi \times 1 + 2 * 5\sqrt{3} = 2\pi(6 + 1) + 10\sqrt{3} = 14\pi + 10\sqrt{3}$。

3. 最終的な答え

1. 弧の長さ: $12\pi$, 面積: $54\pi$

2. (1) $\theta = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$, (2) $0 \le \theta < \frac{3}{4}\pi, \frac{5}{4}\pi < \theta < 2\pi$, (3) $\theta = \frac{\pi}{12}, \frac{19}{12}\pi$

3. 最大値: $\frac{9}{4}$ ($\theta = \frac{\pi}{2}$), 最小値: $0$ ($\theta = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$)

4. (1) $-\frac{\sqrt{5}}{3}$, (2) $\frac{2 + 5\sqrt{3}}{12}$, (3) $\frac{7}{8}$, (4) $\frac{\sqrt{6}}{6}$

5. $3$

6. (1) $-6x + 6$, (2) $-4x + 5$

7. $-12$

8. $14\pi + 10\sqrt{3}$