数列 ${a_n}$ が $a_1 = 2$ と漸化式 $a_{n+1} = 16a_n^5$ によって定められているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

はい、承知いたしました。問題107を解きます。

1. 問題の内容

数列 ${a_n}$ が $a_1 = 2$ と漸化式 $a_{n+1} = 16a_n^5$ によって定められているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a_{n+1} = 16a_n^5$ の両辺の対数を取ります。底は何でも良いですが、ここでは底を2とします。

$$\log_2 a_{n+1} = \log_2 (16a_n^5)$$

$$\log_2 a_{n+1} = \log_2 16 + \log_2 a_n^5$$

$$\log_2 a_{n+1} = 4 + 5 \log_2 a_n$$

ここで、$b_n = \log_2 a_n$ とおくと、

$$b_{n+1} = 5b_n + 4$$

これは、特性方程式を用いて解くことができます。

特性方程式は、

$$x = 5x + 4$$

$$-4x = 4$$

$$x = -1$$

したがって、数列 $\{b_n + 1\}$ は公比5の等比数列です。

$$b_{n+1} + 1 = 5(b_n + 1)$$

$b_1 = \log_2 a_1 = \log_2 2 = 1$ より、

$$b_n + 1 = (b_1 + 1) \cdot 5^{n-1}$$

$$b_n + 1 = (1 + 1) \cdot 5^{n-1}$$

$$b_n = 2 \cdot 5^{n-1} - 1$$

よって、

$$a_n = 2^{b_n} = 2^{2 \cdot 5^{n-1} - 1}$$

$$a_n = 2^{2 \cdot 5^{n-1}} \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^{2 \cdot 5^{n-1}}$$

$$a_n = \frac{1}{2} \cdot (2^2)^{5^{n-1}} = \frac{1}{2} \cdot 4^{5^{n-1}}$$

3. 最終的な答え

$$a_n = \frac{1}{2} \cdot 4^{5^{n-1}}$$