関数 $y = (x^2 - 4x + 3)^2 + 4x^2 - 16x + 11$ の $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^2 - 4x + 3)^2 + 4x^2 - 16x + 11$ の $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$t = x^2 - 4x + 3$ とおく。すると、$4x^2 - 16x = 4(x^2 - 4x) = 4(t - 3) = 4t - 12$ となるので、

$y = t^2 + 4t - 12 + 11 = t^2 + 4t - 1$ となる。

次に、$t = x^2 - 4x + 3$ の $0 \le x \le 3$ における範囲を求める。

$t = (x - 2)^2 - 1$ であるから、$x = 2$ のとき $t = -1$ となり、これが最小値となる。

$x = 0$ のとき $t = 3$、$x = 3$ のとき $t = 0$ であるから、$t$ の最大値は 3 である。

よって、$-1 \le t \le 3$ である。

$y = t^2 + 4t - 1 = (t + 2)^2 - 5$ であるから、$t = -2$ のとき $y = -5$ となり、これは $-1 \le t \le 3$ の範囲外である。

$t = -1$ のとき $y = (-1 + 2)^2 - 5 = 1 - 5 = -4$

$t = 3$ のとき $y = (3 + 2)^2 - 5 = 25 - 5 = 20$

よって、$y$ の最大値は 20, 最小値は -4 である。

3. 最終的な答え

最大値は 20、最小値は -4。