与えられた式 $x^2 + 3xy + 2y^2 + 5x + 7y + 6$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 3xy + 2y^2 + 5x + 7y + 6$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ についての2次式と見て整理する。

$x^2 + (3y+5)x + (2y^2 + 7y + 6)$

次に、$x$ を含まない部分、$2y^2 + 7y + 6$ を因数分解する。

$2y^2 + 7y + 6 = (2y+3)(y+2)$

すると、与式は

$x^2 + (3y+5)x + (2y+3)(y+2)$

$x^2 + (3y+5)x + (2y+3)(y+2) = (x + (2y+3))(x + (y+2))$となることを期待して、展開して確認する。

$(x + 2y + 3)(x + y + 2) = x^2 + xy + 2x + 2xy + 2y^2 + 4y + 3x + 3y + 6$

$= x^2 + 3xy + 2y^2 + 5x + 7y + 6$

となり、確かに与式と一致する。

3. 最終的な答え

$(x + 2y + 3)(x + y + 2)$