等差数列 $\{a_n\}$ の第15項が22、第45項が12であるとき、この数列の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ の第15項が22、第45項が12であるとき、この数列の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表されます。ここで、$a_1$ は初項、$d$ は公差です。

問題文より、

第15項が22であることから、 $a_{15} = a_1 + 14d = 22$ ...(1)

第45項が12であることから、 $a_{45} = a_1 + 44d = 12$ ...(2)

(2)式から(1)式を引くと、

$(a_1 + 44d) - (a_1 + 14d) = 12 - 22$

$30d = -10$

$d = -\frac{1}{3}$

$d = -\frac{1}{3}$ を(1)式に代入すると、

$a_1 + 14 \times (-\frac{1}{3}) = 22$

$a_1 - \frac{14}{3} = 22$

$a_1 = 22 + \frac{14}{3} = \frac{66+14}{3} = \frac{80}{3}$

したがって、一般項は

$a_n = a_1 + (n-1)d = \frac{80}{3} + (n-1)(-\frac{1}{3})$

$a_n = \frac{80}{3} - \frac{n-1}{3} = \frac{80 - n + 1}{3}$

$a_n = \frac{81 - n}{3}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{81 - n}{3}$