問題文は、$x, y, a, b$ は実数で、$a > 0, b > 0$ とします。このとき、以下の不等式を証明し、(1)と(3)については等号が成り立つ条件も求めよ、というものです。 (1) $(x^2 + 1)(y^2 + 1) \ge (xy + 1)^2$ (2) $\sqrt{a} + 2\sqrt{b} > \sqrt{a + 4b}$ (3) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題文は、$x, y, a, b$ は実数で、$a > 0, b > 0$ とします。このとき、以下の不等式を証明し、(1)と(3)については等号が成り立つ条件も求めよ、というものです。

(1) $(x^2 + 1)(y^2 + 1) \ge (xy + 1)^2$

(2) $\sqrt{a} + 2\sqrt{b} > \sqrt{a + 4b}$

(3) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$

2. 解き方の手順

(1)

まず、不等式の左辺を展開します。

$(x^2 + 1)(y^2 + 1) = x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1$

次に、不等式の右辺を展開します。

$(xy + 1)^2 = x^2y^2 + 2xy + 1$

不等式の両辺の差を計算します。

$(x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1) - (x^2y^2 + 2xy + 1) = x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$

$(x - y)^2 \ge 0$ であるため、$(x^2 + 1)(y^2 + 1) \ge (xy + 1)^2$ が成り立ちます。

等号が成り立つのは、$x = y$ のときです。

(2)

$\sqrt{a} + 2\sqrt{b} > \sqrt{a + 4b}$ を証明します。

両辺が正であるため、両辺を2乗しても大小関係は変わりません。

$(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})^2 = a + 4\sqrt{ab} + 4b$

$(\sqrt{a + 4b})^2 = a + 4b$

$a + 4\sqrt{ab} + 4b > a + 4b$ を示すには、$4\sqrt{ab} > 0$ を示せばよいです。

$a > 0$ かつ $b > 0$ より、$\sqrt{ab} > 0$ なので、$4\sqrt{ab} > 0$ が成り立ちます。

したがって、$\sqrt{a} + 2\sqrt{b} > \sqrt{a + 4b}$ が成り立ちます。

(3)

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$ を証明します。

両辺に $ab$ を掛けると、$a^2 + b^2 \ge 2ab$ となります。

これは、$a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$ と変形でき、$(a - b)^2 \ge 0$ となります。

$(a - b)^2 \ge 0$ は常に成り立つので、$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$ が成り立ちます。

等号が成り立つのは、$a = b$ のときです。

3. 最終的な答え

(1) $(x^2 + 1)(y^2 + 1) \ge (xy + 1)^2$ は成り立つ。等号が成り立つのは、$x = y$ のとき。

(2) $\sqrt{a} + 2\sqrt{b} > \sqrt{a + 4b}$ は成り立つ。

(3) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$ は成り立つ。等号が成り立つのは、$a = b$ のとき。