## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

この問題は、ロピタルの定理を用いて、またはその他の方法で、いくつかの極限を求める問題です。

問題1は、ロピタルの定理を用いて以下の極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}$

(2) $\lim_{x \to 0^+} x \log x$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{\sqrt{x+1} - 1}$

(4) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x})$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x - \sin x}$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\arcsin x}$

(7) $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x^2}$

(8) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{\cos x} - e}{\log(\cos x)}$

(9) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(\cos 2x)}{\log(\cos 3x)}$

問題2は、以下の極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0^+} x^x$

(2) $\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$

(3) $\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{(\log x)^2}}$

(4) $\lim_{x \to 0^+} (\sin x)^x$

(5) $\lim_{x \to 0^+} (\sin x)^{\frac{1}{\log x}}$

##

2. 解き方の手順

**問題1**

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \frac{1 + 1}{1} = 2$

(2) $\lim_{x \to 0^+} x \log x$

これは $0 \cdot (-\infty)$ の不定形なので、$\frac{-\infty}{\infty}$または$\frac{0}{0}$の形に変形してからロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0^+} \frac{\log x}{\frac{1}{x}}$ と変形すると、$\frac{-\infty}{\infty}$ の形になります。

ロピタルの定理を適用すると、$\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{\sqrt{x+1} - 1}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x+4}}}{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$

(4) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x})$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x \sin x}$ と変形します。これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{\sin x + x \cos x}$ 。これも $\frac{0}{0}$ の不定形なので、再度ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{\cos x + \cos x - x \sin x} = \frac{0}{1+1-0} = \frac{0}{2} = 0$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x - \sin x}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{1 - \cos x}$。これも $\frac{0}{0}$ の不定形なので、再度ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{6x}{\sin x}$。これも $\frac{0}{0}$ の不定形なので、再度ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{6}{\cos x} = \frac{6}{1} = 6$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\arcsin x}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}} = \lim_{x \to 0} \sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-0} = 1$

(7) $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x^2}$

これは $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x - e^{-x}}{2x}$。これも $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、再度ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \infty$

(8) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{\cos x} - e}{\log(\cos x)}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{-e^{\cos x} \sin x}{-\frac{\sin x}{\cos x}} = \lim_{x \to 0} e^{\cos x} \cos x = e^1 \cdot 1 = e$

(9) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(\cos 2x)}{\log(\cos 3x)}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{-2\sin 2x}{\cos 2x}}{\frac{-3\sin 3x}{\cos 3x}} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin 2x \cos 3x}{3\sin 3x \cos 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 2x \cdot 1}{3 \cdot 3x \cdot 1} = \frac{4}{9}$

**問題2**

(1) $\lim_{x \to 0^+} x^x$

$y = x^x$ とすると、$\log y = x \log x$。

$\lim_{x \to 0^+} x \log x = 0$ (問題1(2)より)

$\lim_{x \to 0^+} \log y = 0$

したがって、$\lim_{x \to 0^+} y = e^0 = 1$

(2) $\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$

$y = x^{\frac{1}{x}}$ とすると、$\log y = \frac{1}{x} \log x$。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$。これは $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = 0$

$\lim_{x \to \infty} \log y = 0$

したがって、$\lim_{x \to \infty} y = e^0 = 1$

(3) $\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{(\log x)^2}}$

$y = x^{\frac{1}{(\log x)^2}}$ とすると、$\log y = \frac{1}{(\log x)^2} \log x = \frac{1}{\log x}$。

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log x} = 0$

$\lim_{x \to \infty} \log y = 0$

したがって、$\lim_{x \to \infty} y = e^0 = 1$

(4) $\lim_{x \to 0^+} (\sin x)^x$

$y = (\sin x)^x$ とすると、$\log y = x \log (\sin x)$。

$\lim_{x \to 0^+} x \log (\sin x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\log(\sin x)}{\frac{1}{x}}$。これは $\frac{-\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-x^2 \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-x \cos x}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{0 \cdot 1}{1} = 0$

$\lim_{x \to 0^+} \log y = 0$

したがって、$\lim_{x \to 0^+} y = e^0 = 1$

(5) $\lim_{x \to 0^+} (\sin x)^{\frac{1}{\log x}}$

$y = (\sin x)^{\frac{1}{\log x}}$ とすると、$\log y = \frac{1}{\log x} \log(\sin x) = \frac{\log(\sin x)}{\log x}$。

$\lim_{x \to 0^+} \frac{\log(\sin x)}{\log x}$。これは $\frac{-\infty}{-\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{\sin x} \cos x = 1 \cdot 1 = 1$

$\lim_{x \to 0^+} \log y = 1$

したがって、$\lim_{x \to 0^+} y = e^1 = e$

##

3. 最終的な答え

**問題1**

(1) 2

(2) 0

(3) 1/2

(4) 0

(5) 6

(6) 1

(7) $\infty$

(8) e

(9) 4/9

**問題2**

(1) 1

(2) 1

(3) 1

(4) 1

(5) e