問題18は、絶対値を含む方程式 $ |2x-4| = x+1 $ を解く問題です。 問題19は、絶対値を含む不等式 $ |2x+1| \le |2x-1| + x $ を解く問題です。

1. 問題の内容

問題18は、絶対値を含む方程式 $|2x-4| = x+1$ を解く問題です。

問題19は、絶対値を含む不等式 $|2x+1| \le |2x-1| + x$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

**問題18**

絶対値の方程式 $|2x-4| = x+1$ を解く。

絶対値の中身の符号で場合分けを行う。

(1) $2x-4 \ge 0$ つまり $x \ge 2$ のとき、$|2x-4| = 2x-4$ なので、方程式は $2x-4 = x+1$ となる。これを解くと $x=5$。 これは $x \ge 2$ を満たすので解である。

(2) $2x-4 < 0$ つまり $x < 2$ のとき、$|2x-4| = -(2x-4) = -2x+4$ なので、方程式は $-2x+4 = x+1$ となる。これを解くと $3x=3$ より $x=1$。これは $x < 2$ を満たすので解である。

**問題19**

絶対値の不等式 $|2x+1| \le |2x-1| + x$ を解く。

同様に絶対値の中身の符号で場合分けを行う。

(1) $x \ge \frac{1}{2}$ のとき、$2x+1 > 0$ かつ $2x-1 \ge 0$ なので、$|2x+1| = 2x+1$ かつ $|2x-1| = 2x-1$。よって不等式は $2x+1 \le 2x-1 + x$ となる。これを解くと $x \ge 2$。$x \ge \frac{1}{2}$ と $x \ge 2$ の共通範囲は $x \ge 2$。

(2) $-\frac{1}{2} \le x < \frac{1}{2}$ のとき、$2x+1 \ge 0$ かつ $2x-1 < 0$ なので、$|2x+1| = 2x+1$ かつ $|2x-1| = -(2x-1) = -2x+1$。よって不等式は $2x+1 \le -2x+1 + x$ となる。これを解くと $3x \le 0$ より $x \le 0$。$-\frac{1}{2} \le x < \frac{1}{2}$ と $x \le 0$ の共通範囲は $-\frac{1}{2} \le x \le 0$。

(3) $x < -\frac{1}{2}$ のとき、$2x+1 < 0$ かつ $2x-1 < 0$ なので、$|2x+1| = -(2x+1) = -2x-1$ かつ $|2x-1| = -(2x-1) = -2x+1$。よって不等式は $-2x-1 \le -2x+1 + x$ となる。これを解くと $x \ge -2$。$x < -\frac{1}{2}$ と $x \ge -2$ の共通範囲は $-2 \le x < -\frac{1}{2}$。

(1)(2)(3)を合わせると、$-2 \le x \le 0$ および $x \ge 2$。

3. 最終的な答え

問題18の答え：$x = 1, 5$

問題19の答え：$-2 \le x \le 0, x \ge 2$