次の式を簡略化します。 $1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}}$

## 問題1

1. 問題の内容

次の式を簡略化します。

$1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}}$

2. 解き方の手順

まず、最も内側の分数から簡略化します。

ステップ1: $2 + \frac{1}{x}$ を簡略化します。

$2 + \frac{1}{x} = \frac{2x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{2x + 1}{x}$

ステップ2: $\frac{1}{2 + \frac{1}{x}}$ を簡略化します。

$\frac{1}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{1}{\frac{2x + 1}{x}} = \frac{x}{2x + 1}$

ステップ3: $2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}$ を簡略化します。

$2 + \frac{x}{2x + 1} = \frac{2(2x + 1)}{2x + 1} + \frac{x}{2x + 1} = \frac{4x + 2 + x}{2x + 1} = \frac{5x + 2}{2x + 1}$

ステップ4: $\frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}}$ を簡略化します。

$\frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{\frac{5x + 2}{2x + 1}} = \frac{2x + 1}{5x + 2}$

ステップ5: $1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}}$ を簡略化します。

$1 + \frac{2x + 1}{5x + 2} = \frac{5x + 2}{5x + 2} + \frac{2x + 1}{5x + 2} = \frac{5x + 2 + 2x + 1}{5x + 2} = \frac{7x + 3}{5x + 2}$

3. 最終的な答え

$\frac{7x + 3}{5x + 2}$

## 問題2

1. 問題の内容

次の式を簡略化します。

$\frac{1}{x(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x-2)} + \frac{1}{(x-2)(x-3)}$

2. 解き方の手順

部分分数分解を利用します。

ステップ1：$\frac{1}{x(x-1)}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{x(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1}$

$1 = A(x-1) + Bx$

$x = 0$ のとき, $1 = -A$, よって $A = -1$

$x = 1$ のとき, $1 = B$, よって $B = 1$

$\frac{1}{x(x-1)} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$

同様に、

$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1}$

$\frac{1}{(x-2)(x-3)} = \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-2}$

ステップ2：与えられた式に代入します。

$\frac{1}{x(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x-2)} + \frac{1}{(x-2)(x-3)} = (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}) + (\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1}) + (\frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-2})$

ステップ3：項を整理します。

$= \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-2}$

$= -\frac{1}{x} + \frac{1}{x-3}$

$= \frac{- (x-3) + x}{x(x-3)}$

$= \frac{-x + 3 + x}{x(x-3)}$

$= \frac{3}{x(x-3)}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{x(x-3)}$