問題A：頂点が(1, 8)で、$x$軸と異なる2点A, Bで交わり、AB = 4を満たす2次関数を求める。問題B：問題Aで求めた2次関数を平行移動したもので、x軸と異なる2点C, Dで交わり、CD = 6を満たし、点(1, 10)を通る2次関数を求める。また、与えられた条件を満たすグラフを選択したり、空欄を埋めたりする。

1. 問題の内容

問題A：頂点が(1, 8)で、$x$軸と異なる2点A, Bで交わり、AB = 4を満たす2次関数を求める。問題B：問題Aで求めた2次関数を平行移動したもので、x軸と異なる2点C, Dで交わり、CD = 6を満たし、点(1, 10)を通る2次関数を求める。また、与えられた条件を満たすグラフを選択したり、空欄を埋めたりする。

2. 解き方の手順

問題A:

* 2次関数のグラフは軸に関して対称である。

* 点(1, 0)から2点A, Bは等距離にある。AB=4なので、軸x=1から左右に2ずつ離れた点が交点となる。よって、点A, Bの$x$座標は、それぞれ-1と3になる。

* 求める2次関数は、$y = a(x + 1)(x - 3)$とおける。①

* ①が点(1, 8)を通ることから、8 = a(1 + 1)(1 - 3)より、8 = a(2)(-2) = -4a。したがって、$a = -2$となる。

(1) (ア)問題Aの概形：$a<0$なので、上に凸のグラフである。x軸との交点が-1,3なので、選択肢の4が当てはまる。

(イ)~(エ)の空欄:

(イ) 1

(ウ) 3

(エ) -2

(2)(i) (オ)(カ)の問題Bについて

2次関数のグラフが軸に関して対称であることから、グラフの軸を直線$x = p$ ($p$は定数)として、$x$軸との交点の$x$座標を$p$を用いて表すと、$x = p - 3, p + 3$となる。これは、CD=6だから、軸からの距離が3であるため。

したがって、$x = p-3, p+3$。ただし、$p-3 < p+3$。

(2)(ii) 問題Bを解く：

問題Aで求めた2次関数$y = -2(x+1)(x-3)$を平行移動したものを考える。

問題Bの2次関数は$y = -2(x-(p-3))(x-(p+3)) = -2(x-p+3)(x-p-3)$と表せる。

このグラフは点(1, 10)を通るので、

$10 = -2(1-p+3)(1-p-3) = -2(4-p)(-2-p) = -2(p^2 - 2p - 8) = -2p^2 + 4p + 16$

$2p^2 - 4p - 6 = 0$

$p^2 - 2p - 3 = 0$

$(p-3)(p+1) = 0$

$p = 3, -1$

よって、$y = -2(x-p+3)(x-p-3)$に$p$の値を代入すると、

$p=3$のとき、$y = -2(x)(x-6) = -2x^2 + 12x$

$p=-1$のとき、$y = -2(x+4)(x+2) = -2(x^2 + 6x + 8) = -2x^2 - 12x - 16$

3. 最終的な答え

(1) (ア): 4

(イ): 1

(ウ): 3

(エ): -2

(2)(i) (オ): $p-3$

(カ): $p+3$

(2)(ii)

$y = -2x^2 + 12x$ または $y = -2x^2 - 12x - 16$